4 réponses à ce sujet

[marine.r]

Bonjour à tous
J'ai besoin de votre aide pour mes deux derniers exercices ...

Ex 1 :

Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = ( -3x²+2x-3 ) / ( x²+1 )
Démontrer que, pour tout x € [-7; 7] on a :
-4 =< f(x) =< -2

Ex 2 :

un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre .
Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que :
- le volume contenu soit de 1 litre exactement
- la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre )  utilisée pour la fabriquer soit minimale .
1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r .
2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par :
A® = 2 * pi * r² + ( 2/ r )
3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [
4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?
Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r
5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?

Merci beaucoup d'avance

[Barbidoux]

1-----------
f(x)=(-3*x^2 + 2*x - 3)/(x^2 + 1)
Lorsque x-> ∞ alors lim f(x)= lim -3*x^2/x^2=-3
Lorsque x->- ∞ alors lim f(x)= lim -3*x^2/x^2=-3
---------
f'(x)=(2 - 6*x)/(x^2+1)-(2*x*(-3 x^2+2*x-3))/(x^2+1)^2=-2 (x^2-1)/(x^2+1)^2=-2*(x+1)*(x-1)/(x^2+1)^2

x..........(-∞).......................(-1)........................(1)............................(∞)
f'(x).......................(-)........Min.......(+)...........Max........(-)...................
f(x).......(-3).......decrois..(-4)......crois.........(-2)....crois...............(-3)
----------
Conclusion -4<f(x) <-2
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[Barbidoux]

Ex 2 :

un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre .
Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que :
- le volume contenu soit de 1 litre exactement
- la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale .
1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r .
V=Pi*r^2*h ==> h=V/(Pi*r^2)
comme V=1 ==> h=1/(Pi*r^2)
2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par :
A( r) = 2 * pi * r² + ( 2/ r )
Aire totale=A( r)=aire base + aire couvercle + 2*aire latérale du cylindre=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h
A( r)=2*Pi*r^2+2*Pi*r/(Pi*r^2)=2*Pi*r^2+2/r
3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [
La fonction A( r) est dérivable si (A( r+a)-A( r))/a  tend vers une limite finie lorsque a->0
(A( r+a)-A( r))/a=(2*Pi*(r+a)^2+2/(r+a)-2*Pi*r^2-2/r)/a=(2*Pi*(2*r*a+a^2)-h/(r*(r+a))/a=(2*Pi*(2*r+a)-2/(r*(r+a))
Lorsque h->0 alors (A( r+a)-A( r))/a -> 2*Pi*2*r-2/(r^2) qui est une limite finie si r 0. La fonction A( r) est donc dérivable sur R+ et
A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)
4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?
Elle est minimale lorsque A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0  ==> r^3=1/(2*Pi) ==> r=(1/(2*Pi))^(1/3)=0.542 dm
Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r
Dans ce cas A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0  ==> 2*r=1/(Pi*r^2)=h
5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?
rayon base = 5.4 cm
hauteur =10.8 cm

[Santurions]

Coucou,  apparement  je  n'étais pas le  seul  a avoir  ce  dm^^ Barbidoux  en  tous  cas   merci   infiniement  j'avais pas  compris  comment le   2/r  et  grâce  a toi j'ai  tous  compris mais  juste pour la dérivabilité j'ai  pas  fais aussi  compliquer  j'ai juste  dit  que  c'était  une  fonction  rationnel et  don  dérivable  sur  R* ^^ j'aimerais avoi  ta  comfirmattion  (juste  u  cas  où)  et  encoe  merci beaucoup

[Barbidoux]

Oui on aurait pu utiliser le théorème suivant :
u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x) est non nul.
Si ces trois conditions sont vérifiées alors la fonction  u/v  est dérivable en x.