Suite de sinus - Démonstration Terminale Spécialité

[pzorba75]

Enoncé : Montrer que la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n>=1 par :

u_n=sin(1)/n^2+sin(2)/n^2+...+sin(n)/n^2

est convergente.

Je ne suis pas confiant dans ma réponse :

Pour tout entier n>=1 : -n/n^2<u_n<n/n^2 en utilisant -1<=sin(x)<=1

Or, lim{n->+\infty}n/n^2=0 donc lim{n->+_infty}u_n=0

La suite admet une limite, elle converge vers 0.

J'ai un vrai doute sur la rigueur et (u_n) n'étant pas monotone je ne vois pas comment m'y prendre pour démontrer proprement avec les connaissances de terminale.

Je remercie d'avance tout passionné par cette démonstration.

Bon week-end.

[julesx]

Bonjour,

Ne peut-on pas simplement utiliser le théorème des gendarmes ? U_n est compris entre deux termes qui tendent vers 0.

[pzorba75]

C'était un peu mon idée, est-ce suffisant?

[julesx]

Les différents exercices que j'ai vu traités jusqu'à présent sur ce site ont toujours utilisé cette démarche lorsqu'on était en présence d'une suite d'éléments encadrés par deux termes tendant vers une même valeur. Mais, tu le sais, je n'ai jamais enseigné les maths, donc je ne peux pas garantir que c'est suffisant.
Le problème est effectivement que ce n'est pas une suite monotone. D'habitude, on commence par montrer que la suite est croissante et majorée ou décroissante et minorée ce qu'on ne peut pas faire ici. Mais d'après ce que j'ai vu sur la toile, ceci n'est pas utile, la suite peut alterner, il suffit que ses valeurs restent toujours entre celles des deux suites  prises en compte dans le théorème.
Il faut peut-être attendre un avis plus autorisé que le mien.

[pzorba75]

Je vais rester sage, avec les gendarmes ça me suffira pour cet exercice.

Merci de ton aide.