Dérivation 1ère

[Eleor]

Bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour mon devoir sur la dérivation s'il vous plaît, l'exercice étant accompagné d'une image je vous le mets en pièce jointe.  

 

Pour la première question, j'ai calculé delta de x² + 1

Donc = 0² - 4 * 1 * 1 = -4

Le résultat étant négatif me bloque, merci de me mener à la bonne piste. 

 

 

 

[julesx]

Bonjour,

1) Inutile de calculer delta, x² est toujours positif ou nul donc 1+x² est toujours positif et ne s'annule jamais. Comme son numérateur est défini sur R en tant que polynôme, . f est bien définie sur R.

[Eleor]

il y a 15 minutes, julesx a dit :

Bonjour,

1) Inutile de calculer delta, x² est toujours positif ou nul donc 1+x² est toujours positif et ne s'annule jamais. Comme son numérateur est défini sur R en tant que polynôme, . f est bien définie sur R.

Oui il est impossible que ça soit négatif,

Mais alors comment puis je le justifier de manière mathématiques ? 

[julesx]

Mais le raisonnement sur le signe est mathématique !

Maintenant, si tu y tiens vraiment, delta négatif => que x²+1 n'a pas de racine donc ne s'annule jamais. C'est tout ce dont tu as besoin pour montrer que f est définie comme sur R.
Cela dit, au départ, il faudrait dire que f est le rapport de deux polynômes, donc que son domaine de définition est égal à R privé des racines du dénominateur. Et c'est là que tu cherches si le dénominateur peut s'annuler.

[Eleor]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Mais le raisonnement sur le signe est mathématique !

Maintenant, si tu y tiens vraiment, delta négatif => que x²+1 n'a pas de racine donc ne s'annule jamais. C'est tout ce dont tu as besoin pour montrer que f est définie comme sur R.
Cela dit, au départ, il faudrait dire que f est le rapport de deux polynômes, donc que son domaine de définition est égal à R privé des racines du dénominateur. Et c'est là que tu cherches si le dénominateur peut s'annuler.

D'accord merci,

Pour les variations de f, question 2, je peux me servir de l'image ou je dois me baser sur ce que j'ai démontré ?

[julesx]

Il faut utiliser l'expression de f'(x). Par contre, tu peux contrôler ce que tu en déduis en regardant comment évolue la courbe.

[volcano47]

rappel qui hélas ne semble pas inutile : x²+1 =0 n'a pas de racines parce que x² =-1 n'a pas de racine dans R en raison de la règle des signes : (-) .(- ) = + de même que (+).(+) = + . Il n'y a donc pas de nombre (positif ou bien négatif) tel que le produit de ce nombre par lui-même donne un nombre négatif.

ici, -1 = (-1) (+1) mais ça, ce n'est pas un carré , c'est le produit de deux nombres différents.

[julesx]

Bonsoir volcano,

A mon avis, le problème n'était pas là. eleor n'a pas compris/ assimilé/interprété le fait que, quand le discriminant est négatif, le trinôme n'a pas de racines réelles ce qui, dans l'optique de l'énoncé implique que le domaine de définition est R.

[Eleor]

Il y a 20 heures, julesx a dit :

Bonsoir volcano,

A mon avis, le problème n'était pas là. eleor n'a pas compris/ assimilé/interprété le fait que, quand le discriminant est négatif, le trinôme n'a pas de racines réelles ce qui, dans l'optique de l'énoncé implique que le domaine de définition est R.

Bonjour oui c'était ce que je n'avais pas compris mais j'ai mieux compris par la suite comme mon dénominateur ne serait jamais égal à 0 c'était donc défini sur R.

J'ai poursuivi mon exercice et j'en suis maintenant à la question 4, mais je ne sais pas comment m'y prendre. 

[julesx]

Bonjour,

J'allais justement te demander où tu en étais.

Pour la question 4, tu vois dans ton tableau de variations que sur l'intervalle [0;2], f(x) décroit de 2 à 3/2 puis croit de 3/2 à 2, donc f(x) reste compris entre 3/2 et 2, ce qui est l'encadrement demandé.

[Eleor]

il y a 21 minutes, julesx a dit :

Bonjour,

J'allais justement te demander où tu en étais.

Pour la question 4, tu vois dans ton tableau de variations que sur l'intervalle [0;2], f(x) décroit de 2 à 3/2 puis croit de 3/2 à 2, donc f(x) reste compris entre 3/2 et 2, ce qui est l'encadrement demandé.

Oui c'est bien ça cela décroit de 2 à 3/2 puis croit de 3/2 à + l'infini mais comme c'est sur l'intervalle [0;2] je peux imaginer que ça croit donc jusqu'à deux

Mais alors on l'écrirait comme ceci :

3/2 < f(x) < 2

Avec un petit trait en dessous de < pour dire que c'est inférieur ou égal comme dans l'intervalle le 0 et 2 sont inclus mais je n'ai pas la touche sur le clavier. 

[julesx]

Pour x=2, il faut calculer f(2), pas imaginer le résultat. Tu peux même faire figurer cette valeur dans ton tableau de variations.

Pour supérieur ou égal, utilise l'écriture usuelle < suivi de =. Le site la remplace en principe par .

 

[Eleor]

il y a 14 minutes, julesx a dit :

Pour x=2, il faut calculer f(2), pas imaginer le résultat. Tu peux même faire figurer cette valeur dans ton tableau de variations.

Pour supérieur ou égal, utilise l'écriture usuelle < suivi de =. Le site la remplace en principe par .

 

Ah oui d'accord c'est plus logique, du coup en effet ça fait bien deux.

Super merci je vais essayer j'ai : 

3/2 f(x) 2

Modifié le 3 mars 2023 par Eleor

[julesx]

Parfait !

[Eleor]

il y a une heure, julesx a dit :

Parfait !

Génial,

alors j'ai avancé et j'en suis à la dernière question, j'ai réussi à démontrer ce qu'il fallait démontrer mais je ne comprends pas le "déterminer la position relative de T et Cf" je dois soustraire l'équation de ma Tangente à ma fonction et ensuite avec le résultat obtenu je dois chercher les racines et faire mon tableau de signe pour voir où est ce qu'elles se coupent ? 

Mais alors pourquoi on m'a fait démontrer une égalité avant 

Modifié le 3 mars 2023 par Eleor

[julesx]

L'égalité te permet justement de trouver le signe de la différence entre l'équation de la fonction et celle de la tangente.

Si la différence est positive,  Cf est au dessus de T.
Si la différence est négative,  Cf est en dessous de T.

Pour faciliter l'étude, on te demande de simplifier la différence en la mettant sous la forme d'une fraction dont il suffit de chercher le signe du numérateur. C'est le but de la première partir de cette question.

A noter que tu peux contrôler le résultat de ton étude en traçant  Cf et T et en regardant leurs positions respectives.

 

[Eleor]

il y a 9 minutes, julesx a dit :

L'égalité te permet justement de trouver le signe de la différence entre l'équation de la fonction et celle de la tangente.

Si la différence est positive,  Cf est au dessus de T.
Si la différence est négative,  Cf est en dessous de T.

Pour faciliter l'étude, on te demande de simplifier la différence en la mettant sous la forme d'une fraction dont il suffit de chercher le signe du numérateur. C'est le but de la première partir de cette question.

A noter que tu peux contrôler le résultat de ton étude en traçant  Cf et T et en en regardant leurs positions respectives.

 

Donc si j'ai bien compris je dois faire le calcul suivant :

x³ + 2/ x²+1 - (x - 2)² (x + 2) / 5(x² + 1) 

 

D'accord je vois, mais ça sera forcément en dessous ou au dessus ? Je ne devrais pas faire un tableau de signe ensuite pour voir quand est-ce que c'est en dessous et quand est-ce que c'est au dessus ? 

 

[julesx]

Non, relis l'énoncé, le calcul à faire est

f(x)-(4/5*x-2/5) soit (x³+2)/(x²+1)-(4/5*x-2/5) et montrer que tu obtiens (x-2)²(x+2)/5/(x²+1).

Vu les différents termes, je te laisse voir que le signe du résultat est simplement celui de x+2.

[Eleor]

il y a 15 minutes, julesx a dit :

Non, relis l'énoncé, le calcul à faire est

f(x)-(4/5*x-2/5) soit (x³+2)/(x²+1)-(4/5*x-2/5) et montrer que tu obtiens (x-2)²(x+2)/5/(x²+1).

Vu les différents termes, je te laisse voir que le signe du résultat est simplement celui de x+2.

Ah oui j'ai pas fait attention merci,

Mon dénominateur est positif donc ça va dépendre de mon numérateur mais j'ai pas compris pourquoi c'est celui de x+2 donc positif 

[julesx]

Bonjour,

(x-2)² est toujours positif ou nul
5 et x²+1 sont toujours positif
donc le signe de la différence est uniquement celui de x+2.

Or sur ]- l'infini;+l'infini[, x+2 n'est pas toujours positif. Regarde cela de plus près.
 

[Eleor]

il y a 43 minutes, julesx a dit :

Bonjour,

(x-2)² est toujours positif ou nul
5 et x²+1 sont toujours positif
donc le signe de la différence est uniquement celui de x+2.

Or sur ]- l'infini;+l'infini[, x+2 n'est pas toujours positif. Regarde cela de plus près.
 

D'accord merci

j'ai fait un tableau de signes pour me repérer, et je trouve donc que de - l'infini à -2 je suis en négatif puis de -2 à + l'infini je suis en positif 

J'en déduis donc que : 

de - l'infini à -2 Cf est en dessous de T

De -2 à + l'infini Cf est au dessus de T

 

 

[julesx]

C'est bien ça. Comme déjà dit, u peux le vérifier en superposant le tracé de la tangente à celui donné dans l'énoncé ou en traçant les deux.

[Eleor]

il y a 33 minutes, julesx a dit :

C'est bien ça. Comme déjà dit, u peux le vérifier en superposant le tracé de la tangente à celui donné dans l'énoncé ou en traçant les deux.

Oui ça fonctionne bien,

Merci bien ! 

[julesx]

De rien, bonne continuation.