Suites récurrence

[gonnapassout]

Bonjour,
je bloque sur la rédaction d'un raisonnement par récurrence au moment de prouver son hérédité. J'ai une suite définie par une fonction vn+1=f(vn) où f(x)=(2+3x)/(4+x)
La proposition Pk est 0<= 1-vk<=(0.5)^k

j'ai commencé à dvp le raisonnement mais je ne sais pas comment faire pour appliquer la fonction et tomber sur Pk+1 pour prouver l'hérédité, peut être que les questions préalable à l'exercice peuvent aider ...
Si quelqu'un pourrait me donner quelques pistes cela m'aiderai beaucoup

[julesx]

Bonjour,

L'idée est effectivement d'utiliser les questions précédentes.

Tu pars de 1-v_k≤(1/2)^k.
D'après le a), tu as 1-v_k+1=2/(4+v_k)*(1-v_k).
Il suffit alors de montrer que 2/(4+v_k)≤1/2.
Je te laisse faire ?

[gonnapassout]

il y a une heure, julesx a dit :

Bonjour,

L'idée est effectivement d'utiliser les questions précédentes.

Tu pars de 1-v_k≤(1/2)^k.
D'après le a), tu as 1-v_k+1=2/(4+v_k)*(1-v_k).
Il suffit alors de montrer que 2/(4+v_k)≤1/2.
Je te laisse faire ?

merci mais j'avoue que je n'y arrive toujours pas 😕

 

[julesx]

Ce que tu veux montrer, c'est que 1-v_k+1≤(1/2)^k+1.
Tu sais que P_k=>1-v_k≤(1/2)^k et que 1-v_k+1=2/(4+v_k)*(1-v_k). Donc, si tu montres que 2/(4+v_k)≤1/2, par produit avec l'autre relation, tu as bien 1-v_k+1≤(1/2)^k+1.

Or, comme v_k est positif , v_k+4≥4 donc 2/(v_k+4)≤2/4 soit 2/(v_k+4)≤1/2.
1-v_k≤(1/2)^k
2/(v_k+4)≤1/2
=>
2/(v_k+4)*(1-v_k)≤1/2*(1/2)^k
OK ?

 

 

 

[pzorba75]

v_k>0 et 2/(4+v_k)<1/2 ce qui permet de conclure 1-v_k+1<(1/2)^k+1.

[gonnapassout]

d'accord merci à vous et bonne soirée