Egalités / inégalités

[Pipoupou]

Bonjour, j'ai un DM de maths sur les équations / égalités et inégalités, je bloque dès la troisième question...Je suis en Première.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer s'il vous plaît ?

L’unité de longueur est le mètre et l’unité d’aire est le m2.
Combien existe-t-il de losanges dont les longueurs des diagonales et des côtés sont des nombres entiers et dont le périmètre est égal à l’aire ?

Soient a et b les longueurs des deux diagonales et c la longueur du côté.
On suppose que a ≤ b et que le triplet (a; b; c) est solution du problème. Ainsi, a, b et c sont des entiers.

1. En utilisant l’égalité entre l’aire et le périmètre, exprimer c en fonction de a et de b.
2. En utilisant le théorème de Pythagore, exprimer d’une deuxième manière c en fonction de a et de b.
3. Déduire des deux questions précédentes une égalité vérifiée par a et b, qui ne contient pas de dénominateur.
4. En utilisant le fait que a ≤ b, déduire de l’égalité précédente que a ≤ 5.
5. Démontrer que √(a^2 + b^2) ≥ b + 1.
6. Déduire de la question 3 et de l’inégalité précédente que a ≥ 5.
7. Que peut-on déduire des questions 4 et 6 ?
8. Déduire de la question précédente la valeur de b.
9. Que peut-on en conclure quant au(x) solution(s) du problème ?

[pzorba75]

1) a*b=4*c

2)  c^2=(b/2)^2+(a/2)^2 <=>a^2+b^2=4c^2

3) c=a*b/4

   a^2+b^2=4*(a*b)/4)^2=a^2*b^2/4<=>4a^2+4b^2=a^2*b^2

Tu peux poursuivre et montrer ce que tu as fait si tu veux de l'aide!

 

 

[Pipoupou]

Pour la 1 l'aire du losange c'est ab/2.
Donc ça fait ab/2 = 4c
c = ab/8
Est-ce correct ?

Pour la 2 j'ai c = racine carrée([a/2]² + [b/2]²)

Modifié le 25 septembre 2022 par Pipoupou

[julesx]

Bonjour,

Oui, c'est bien c=ab/8 et c=√(a²/4+b²/4).

Partant de là, et en simplifiant un peu, tu as a²*b²/16=a²+b².

Tu passes à la question 4 ?