Inverse d'une matrice 3x3

[pzorba75]

C'est la rentrée et je tombe su une question où je sèche, conséquence de la canicule et du dérèglement climatique. Voici la question :

On donne A=[[2,0,0],[2,2,0],[0,1,2]].

Déterminer la matrice N telle que A=2I₃+N où I₃ est la matrice unité d'ordre 3. Fait :N=[[0,0,0],[2,0,0],[0,1,0]].

Calculer N² et N³. Fait N²=[[0,0,0],[0,0,0],[2,0,0} et N³=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]].

Démontrer que pour tout entier naturel n>+1 :

Aⁿ=2ⁿI₃+n2^n-1N+n(n-1)2^n-3N². Fait en application de (2I₃+N)ⁿ et termes N^k=0 pour k>=3.

Démontrer que A est inversible et expliciter A^-1.

C'est là que je sèche, ne trouvant pas d'expression A*(1/2I₃-1/4N+1/8N²)=I_{3 ^{et conclure que la matrice inverse est}} A_-1=1/2I₃-1/4N+1/8N².

J'ai toujours des difficultés avec l'éditeur pour utiliser des formules Latex.

En remerciant d'avance les premiers intervenants sur le forum bien endormi tout l'été, bonne rentrée à tous.

[julesx]

Bonjour,

Je ne suis pas matheux de formation mais comme, pour le moment, il n'y a pas de réponse, j'essaie de mettre mon grain de sel...

Avec la relation trouvée, personnellement, je ne vois pas comment prouver que A est inversible. Mais ne suffit-il pas d'utiliser le fait que det(A) est différent de zéro ?
Par ailleurs, j'ai regardé sur la toile, il semble que la puissance négative d'une matrice soit licite. On écrit M^-n=(M^-1)ⁿ avec M^-1 matrice inverse de M.
En utilisant cela ici, on écrirait simplement que A^-1 est égal à 2ⁿI₃+n2^n-1N+n(n-1)2^n-3N² pour n=-1, soit 1/2I₃-1/4N+1/8N² qui est bien sûr l'expression que tu as écrite.

Mais comme dit, je ne suis pas matheux de formation, ça ne tient peut-être pas la route.

 

[pzorba75]

Je ne suis pas matheux de formation non plus, mais en donnant des cours particuliers, j'essaie d'être le plus rigoureux possible. La relation que j'ai démontrée est valable pour tout entier n>=1, à cause, entre autre,  de l'utilisation du binôme et des coefficients binomiaux. Etendre à n=-1, va déclencher une réaction des enseignants en titre, j'ai déjà causé ce genre de feu d'artifices et, pour le cas présent, je souhaite l'éviter. C'es trop sérieux à quelques jours de la rentrée. 

Merci de l'aide et bonne rentrée, toute molle su e-bahut, comme c'est le cas depuis plusieurs années.

[julesx]

Oui, c'est bien aussi ce qui m'a gêné, on part de n>=1 pour obtenir la relation. Mais l'expression de A^-1 que l'on peut également calculer directement correspond pourtant bien à celle obtenue par la relation en remplaçant n par -1.
Il n'y a plus qu'à espérer l'intervention de quelqu'un de plus qualifié.