Équation avec exponentielles

[Canard_des_îles]

Bonjour à tous !

J'ai une équation à résoudre, mais je suis bloqué.. si quelqu'un pourrait m'éclaircir !

Voici l'équation :

32 = (37.2 - 20)(1.25exp(-0.05445t) - 0.25exp(-5 × 0.05445t)) + 20

Ensuite, j'ai fait :

12 = 17.2(1.25exp(-0.05445t) - 0.25exp(-5 × 0.05445t))

Et ensuite j'ai posé un X :

On pose X = -0.05445

12 = 17.2(1.25exp(Xt) - 0.25exp(5Xt))

Puis je ne vois pas comment faire, j'ai essayé avec le ln, mais je n'obtiens rien de concluant...

Merci d'avance pour votre aide !

Bonne journée 

[julesx]

Bonjour,

Pourquoi ne continues-tu pas sur l'ile, on t'avait donné une très bonne piste qui est de poser X=e^-0,05445t avec X forcément positif à cause de l'exponentielle.

Ceci te donne 12=17,2(1,25* X-0,25*X⁵) que tu peux arranger pour obtenir l'équation X⁵-5*X+120/43=0 (à vérifier, bien sûr).

Cette équation n'a évidemment pas de solution littérale. Par contre, en en faisant l'étude et en utilisant le TVI, tu peux montrer qu'elle a deux solutions positives dont il te suffit ensuite de déterminer des valeurs approchées avec une des méthodes habituelles ou avec le solver de ta calculette.

[Canard_des_îles]

Eh bien à vrai dire, je n'y comprends plus grand chose.

Comment obtenez-vous l'équation ?

Je vois comment faire pour après, mais lorsque l'on pose un X, je suis perdu. 

Modifié le 30 mai 2022 par Canard_des_îles

[Black Jack]

Bonjour,

 

Si les solutions sont demandées dans R :

32 = (37.2 - 20)(1.25exp(-0.05445t) - 0.25exp(-5 × 0.05445t)) + 20

21,5 * exp(-0.05445t) - 4,3.exp(-5 × 0.05445t)) = 12

Poser exp(-0.05445t) = X (et donc X > 0)

21,5 X - 4,3 X^5 = 12  (avec X > 0)

4,3 X^5 - 21,5 X + 12 = 0

f(X) = 4,3 X^5 - 21,5 X + 12 

Etudier les variations de f(x) sur R*+

Du tableau de variations, on doit pouvoir montrer qu'il y a exactement deux solutions à l'équation f(X) = 0
... et on peut approcher ces solutions par approximations successives par exemple par la méthode dichotomique.

On devrait trouver les 2 solutions :  X1 = 0,57019... et X2 = 1,2996...

et à partir de ce qui a été posé, soit : exp(-0.05445t) = X

on peut trouver les valeurs de t correspondantes, soit : 

t1 = 10,3173...
t2 = -4,8129...
  
qui sont les solutions approchées de l'équation de départ.
*****

Voila, il reste à le faire.

[julesx]

Juste une remarque, je préférais X⁵-5X+43/120 à 4,3 X^5 - 21,5 X + 12 car la dérivée donnait immédiatement 5(X⁴-1) dont les zéros étaient immédiats. Mais ce que j'en dis...

[Canard_des_îles]

Merci beaucoup, je comprends mieux à présent. Je vais essayer de le refaire seul.

Bonne soirée 

[Black Jack]

Il y a 12 heures, julesx a dit :

Juste une remarque, je préférais X⁵-5X+43/120 à 4,3 X^5 - 21,5 X + 12 car la dérivée donnait immédiatement 5(X⁴-1) dont les zéros étaient immédiats. Mais ce que j'en dis...

Cela ne change pas grand chose ...

f(x) = 4,3 X^5 - 21,5 X + 12

f'(x) = 4,3*5*x^4 - 21,5 = 21,5*x^4 - 21,5

f'(x) = 21,5*(x^4-1)

 

[julesx]

Évidemment ! Question de gout, quand c'est possible, je préfère les relations avec des coefficients entiers. C'était juste pour justifier ma première expression.