dérivation ( Devoir maison)

[liloudu92]

Bonjour svp pourriez vous m'aider a effectuer cet  exercice je n'y arrive pas merci beaucoup à ceux qui m'aideront.

 

 

Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de ma maison. Ce poulailler devra avoir une aire de 392m². Le but de l'exercice est de déterminer ou placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale.

La figure ci-contre représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant chaque piquet au mur et y la distance entre les 2 piquets A et B .

(On a donc x  > 0 et y > 0.)

1/Sachant que l'aire du poulailler est de 392m², exprimer y en fonction de x.

2/Démontrer que la longueur l(x) du grillage est: l(x)=(2xcarré+ 392)/x

3/ Calculer la dérivée l' de l. En déduire le tableau de variations de l.

4/En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur

Modifié le 24 mars 2022 par liloudu92

[julesx]

Bonjour,

Qu'est-ce qui t'arrête ?

1) Tu connais l'expression de l'aire d'un rectangle de côtés x et y. Partant là, il suffit de dire que cette aire vaut 392 m² pour trouver y en fonction de x.

2) Tu sais calculer la longueur du grillage en fonction de x et de y. Tu en déduis l(x) en fonction de x seul en utilisant le résultat précédent.

Poste déjà les réponses à ces deux questions.

[liloudu92]

vous avez raison j'aurai fait pour ma part:

1) aire =x*y=392 ==> y=392/x

2) la longueur du grillage doit être f(x)=2*x+y=2*x+392/x

[julesx]

Voilà, c'est ça. Maintenant tu passes à la suite :
3) Tu calcules la dérivée et tu traces le tableau de variations.
4) Tu déduis du minimum les dimensions demandées.

[liloudu92]

d'accord si je ne me trompe pas (corriger moi) 

3) f’(x)=2-392/x^2=2*(x^2-196)/x^2=2*(x^2-14^2)/x^2=2*(x-14)*(x+14)/x^2                         

 

.............................(-14)..........1........(14)....................

f’(x).......(+)............(0)..........(-)..........(0).........(+).....

f(x).......crois.........Max.......decrois.....Min........crois...

 

4)f(x) passe par un minimum pour x=14 (y=392/14=28) dimensions pour laquelle la cloture a une longueur minimale.

[julesx]

3) Oui pour f'(x). Par contre, pour le tableau, comme x est positif d'après l'énoncé, tu peux le limiter à ]0;+∞[ (ouvert à 0 à cause du 1/x²). Je ne vois d'ailleurs pas pourquoi tu fais apparaître la valeur x=1, qui n'a rien de particulier. Sur ton intervalle, à la rigueur, tu peux faire apparaître la valeur interdite 0.
Sinon, tu peux rajouter la valeur minimale de l correspondant à x=14, soit 56, ce qui te permet de vérifier le résultat de la question 4).

4) OK pour x=14 et y 28, qui donne bien une aire de 392 m² et une longueur de 2*14+28=56 m.