Équations différentielles

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question : dans un exercice sur les équations différentielles, on propose de modéliser le nombre de ménages équipés d'un ordinateur en France à partir de 1980 par le modèle de Verhulst. D'après ce modèle, f(t) la fonction qui donne ce nombre de ménage, est solution de l'équation y' = 0,022y(20 - y)

On trouve à la fin de la résolution de l'exercice que d'après ce modèle, un peu moins de 20 millions de ménages devraient être équipés d'un ordinateur en 2014. Or l'INSEE nous informe qu'en réalité, plus de 22 millions de ménages possédaient un ordinateur en 2014. 

La question est la suivante : "Expliquer pourquoi l'estimation faite par le modèle de Verhulst est incorrecte" . 

Avez-vous une idée ? J'avoue que je sèche...🤔

Modifié le 4 avril 2021 par C8H10N4O2

[julesx]

Bonjour,

Sans garantie : A cause du terme en 20-y, le maximum possible donné par ce modèle est y=20. Donc, on ne pourrait pas dépasser 20 millions de ménages alors qu'en 2014 il y en avait 28,8 millions.

[C8H10N4O2]

Il y a 7 heures, julesx a dit :

Bonjour,

Sans garantie : A cause du terme en 20-y, le maximum possible donné par ce modèle est y=20. Donc, on ne pourrait pas dépasser 20 millions de ménages alors qu'en 2014 il y en avait 28,8 millions.

Ça me paraît tout à fait juste, bravo !  Effectivement, en creusant un peu, le modèle de Verhulst est employé pour modéliser des phénomènes exponentiels dans un premier temps puis qui convergent vers une limite (par opposition (en simplifiant) à une exponentielle à l'infini comme le suggère Malthus dans le cadre de la croissance de populations). Cela me semble cohérent avec votre idée. 👍

Post scriptum : mais au fait en quoi le terme en 20-y donne un maximum possible de y=20 ?🤔  Pour info, la fonction solution de l'équation différentielle ci-dessus avec la condition initiale f(0) = 0,01 (10 000 ménages équipés d'un ordinateur en 1980) est :  

On a bien f(t) qui tend vers 20 quand t tend vers l'infini.

Modifié le 4 avril 2021 par C8H10N4O2

[julesx]

il y a 38 minutes, C8H10N4O2 a dit :

mais au fait en quoi le terme en 20-y donne un maximum possible de y=20 ?

Méthode "bourrin" : On résout l'équation différentielle en tenant compte de y forcément positif et de la condition initiale choisie pour y(0). On voit qu'en faisant tendre t vers l'infini, y tend vers 20.

Méthode "subtile"(?) : y'=0,022*y(20-y) => y' positif tant que y<20, donc y croit jusqu'à la valeur 20. Au delà, y'<0 donc y décroit a priori. Donc y ne peut pas dépasser 20.

Pour info, je n'ai rien inventé, j'ai regardé un peu ce qui se disait sur la toile. Ton problème est traité en particulier dans ce document à la page 52

http://faccanoni.univ-tln.fr/user/enseignements/2011_2012_M231_L1PC.pdf

Je n'avais pas vu ta modification ! Donc, à part ma méthode "subtile", ma réponse ne t'apporte rien de plus.

[C8H10N4O2]

Merci, document intéressant au demeurant !👍

[julesx]

De rien, bonne continuation.