produit scalaire

[lea.vinted]

ABCDEFGH est le cube dessiné ci-contre.
On définit les points I et J par𝐸𝐼=1/3𝐸𝐹 et 𝐺𝐽=2/3𝐺𝐶. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
On veut démontrer que les vecteurs 𝐹𝐺, 𝐼𝐽 et 𝐸𝐶 sont coplanaires.
Pour cela, on utilisera au choix une des méthodes suivantes (et une seule) :
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
1) Méthode vectorielle : exprimer le vecteur 𝐼𝐽 en fonction des vecteurs 𝐸𝐶 et 𝐹𝐺.
Conclure.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
2) Méthode analytique : on travaille dans le repère (𝐺; 𝐺𝐶, 𝐺𝐻, 𝐺𝐹).
a) Donner, sans justifier, les coordonnées des points G, C, H, F, E, I et J. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
b) Déterminer les coordonnées des vecteurs 𝐹𝐺, 𝐼𝐽 et 𝐸𝐶.
c) Montrer que ces vecteurs sont coplanaires.

Bonjour, puis-je avoir un coup de main pour cette exercice svp 

merci d’avance 

[Black Jack]

Bonjour,

Méthode analytique.

G(0 ; 0 ; 0)
C(1 ; 0 ; 0)
H(0 ; 1 ; 0)
F(0 ; 0 ; 1)
E(0 ; 1 ; 1)
I(0 ; 2/3 ; 1)
J(2/3 ; 0 ; 0)

vect(FG) = (0 ; 0 ; -1)
vect(IJ) = (2/3 ; -2/3 ; -1)
vect(EC) = (1 ; -1 ; -1)

trois vecteurs (u, v et w) sont coplanaires si et seulement si on peut exprimer l'un vecteur comme une combinaison des autres, c'est à dire s'il existe deux réels "a" et "b" tels :  vecteur w = a.vecteur u + b.vecteur v

Donc les 3 vecteurs seront coplanaires si on peut trouver des valeurs de a et b telles que : 

(0 ; 0 ; -1) = a * (2/3 ; -2/3 ; -1) + b * (1 ; -1 ; -1)

... donc si le système suivant a des solutions :

2/3 a + b = 0
-2/3a - b = 0
-a - b = -1

Le système résolu donne : a = 3 et b = -2

On a : vect(FG) = 3 * vect(IJ) - 2 * vect(EC) ... et donc les vecteurs FG, IJ et EC sont coplanaires.
******
Recopier sans comprendre est inutile.

[julesx]

Pour info, la méthode vectorielle :

A vérifier, tout de même.

[Black Jack]

il y a 21 minutes, julesx a dit :

Pour info, la méthode vectorielle :

A vérifier, tout de même.

Bonjour,

 

Distraction dans la dernière ligne où il faut lire : vec(IJ) = ...  au lieu de  vec{IF} = ... 

 

 

[julesx]

@Black Jack,

Merci d'avoir rectifié. En fait, ce n'était pas une distraction mais un oubli de modification d'un copier-collé.