Matrices - Maths Expertes

[Julien__]

Bonjour, je sèche actuellement sur cet exercice de matrices, j'aimerais obtenir de l'aide :

 - On s'intéresse à la résolution dans M₂ ( IR ) de l'équation X² = A, où A = (4  -6)

                                                                                                                            (1   -1).

 

1. On considère la matrice D = ( 2  0 ) et M ∈ M₂ ( IR ) telle que M² = D.

                                                   ( 0  1 )

 

a) Montrer que MD = DM.

b) En posant M = ( a  b ), montrer alors que M est diagonale.

                              ( c  d )

 

c) En déduire les valeurs possibles des coefficients de M. Expliciter les quatres matrices solutions de M² = D.

 

2. On pose P = ( 3  2 )

                          ( 1   1 ).

a) Montrer que la matrice P est inversible P est inversible et déterminer P^-1.

b) Vérifier A = PDP^-1.

c) Montrer que X² = A <=> M² = D.

d) En déduire la forme des solutions X de l'équation X² = A.

Donner ensuite les quatres solutions explicites de cette équation.

e) Calculer leur somme.

 

Voilà, je remercie énormément par avance ceux ou celles qui pourront m'aider, et bonne chance pour ceux qui se lancerons dans cet exercice

Modifié le 2 janvier 2021 par Julien__
Trop d'espaces

[julesx]

Bonjour et bienvenue sur le site,

Qu'as-tu pu faire jusqu'à présent ?

[Julien__]

Bonjour, et merci !

J'ai réussi à prouver que MD=DM, mais pour prouver que M est diagonale en introduisant ces valeurs telles que

( a  b )

( c  d ), 

je ne comprends pas, donc cette question me bloque la suite de l'exercice.

 

[julesx]

Une possibilité (je suis toujours prudent, au cas où il y aurait plus simple) :

Utiliser MD=DM

MD=

(2a b

2c d)

DM=

(2a 2b

c d)

Par identification, les coefficients de la diagonale sont bien égaux et l'identification des deux autres donne

b=2b donc b=0

2c=c donc c=0

La matrice est bien diagonale.

 

 

[Julien__]

D'accord, j'ai bien compris cette partie, merci beaucoup, mais pour expliciter des valeurs de coefficient, comment pourrais-je faire ? 

[julesx]

Je suppose que tu parles de la question 1)c).

Comme M est diagonale, son carré vaut

(a² 0

0 d²)

Par identification avec D, il vient

a²=2 soit a=±√2

d²=1 soit d=±1

Ceci te donne donc 4 matrices en combinant les possibilités de signes, par exemple

(√2 0

0 1)

(-√2 0

0 1)

etc...

N.B. : Pour éviter toute ambiguïté, précise toujours le numéro de la question.

[Julien__]

Ah mais oui, c'était donc aussi simple que ça, merci ! 

il y a 9 minutes, julesx a dit :

N.B. : Pour éviter toute ambiguïté, précise toujours le numéro de la question.

D'accord, je prends note :)) 

[julesx]

Juste une question, pour le calcul matriciel, tu dois le faire à la main ou tu as droit à la calculette ?

A domicile, si nécessaire, tu peux utiliser un logiciel de calcul symbolique type Xcas, ce qui est intéressant lorsque les coefficients sont par exemple des racines comme c'est le cas ici.

[Julien__]

C'est dans le cadre d'un Devoir Maison, donc je peux le faire à la calculatrice pour vérifier mes calculs, mais les étapes doivent êtres écrites.

Merci pour le logiciel, je vais aller voir !

[julesx]

Bon, comme tous les logiciels, ça demande un peu d'apprentissage, on n'a rien sans rien. Ci-joint un exemple de ce qu'on peut faire (c'est une des réponses à la dernière question).

[Julien__]

Bonjour, merci pour votre implication, vous me sauvez la vie ! J'aurais une autre question, pour la 2/c), je ne vois pas du tout comment on peut arriver à montrer que X² = A <=> M² = D...

Pourriez-vous s'il-vous-plaît m'expliquer ?

Merci d'avance

[julesx]

Désolé, c'est là que ça coince aussi pour moi. Je ne vois pas où l'auteur veut en venir avec cette équivalence. Je ne dois pas avoir l'esprit suffisamment "matheux" (n'étant pas prof de maths de formation).

Par contre, en partant de M²=D, on peut montrer que la forme des solutions est X=P.M.P^-1, c'est peut-être dans cette optique qu'à été écrite la question 2)c).

[Julien__]

J'ai peut-être une piste, j'ai retrouvé une note de ma part, sûrement quelque chose qui à été dit en classe. 

Voici : (P^-1XP)² = P^-1*X²*P

[julesx]

Oui, c'est ce que je sous-entendais dans ma réponse précédente :

M²=D =>P.M².P^-1=P.D.P^-1=A

P.M².P^-1=P.M.M.P^-1=P.M.P^-1.P.M.P^-1=(P.M.P^-1)²

d'où X²=(P.M.P^-1)²

etc...

 

[Julien__]

J'ai trouvé pour la question c du 2, c'est bon ! Merci beaucoup pour votre aide !

[julesx]

De rien, bonne continuation.