Julien__ Posté(e) le 2 janvier 2021 Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 (modifié) Bonjour, je sèche actuellement sur cet exercice de matrices, j'aimerais obtenir de l'aide : - On s'intéresse à la résolution dans M2 ( IR ) de l'équation X2 = A, où A = (4 -6) (1 -1). 1. On considère la matrice D = ( 2 0 ) et M ∈ M2 ( IR ) telle que M2 = D. ( 0 1 ) a) Montrer que MD = DM. b) En posant M = ( a b ), montrer alors que M est diagonale. ( c d ) c) En déduire les valeurs possibles des coefficients de M. Expliciter les quatres matrices solutions de M2 = D. 2. On pose P = ( 3 2 ) ( 1 1 ). a) Montrer que la matrice P est inversible P est inversible et déterminer P-1. b) Vérifier A = PDP-1. c) Montrer que X2 = A <=> M2 = D. d) En déduire la forme des solutions X de l'équation X2 = A. Donner ensuite les quatres solutions explicites de cette équation. e) Calculer leur somme. Voilà, je remercie énormément par avance ceux ou celles qui pourront m'aider, et bonne chance pour ceux qui se lancerons dans cet exercice Modifié le 2 janvier 2021 par Julien__ Trop d'espaces Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 2 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 Bonjour et bienvenue sur le site, Qu'as-tu pu faire jusqu'à présent ? Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Julien__ Posté(e) le 2 janvier 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 Bonjour, et merci ! J'ai réussi à prouver que MD=DM, mais pour prouver que M est diagonale en introduisant ces valeurs telles que ( a b ) ( c d ), je ne comprends pas, donc cette question me bloque la suite de l'exercice. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 2 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 Une possibilité (je suis toujours prudent, au cas où il y aurait plus simple) : Utiliser MD=DM MD= (2a b 2c d) DM= (2a 2b c d) Par identification, les coefficients de la diagonale sont bien égaux et l'identification des deux autres donne b=2b donc b=0 2c=c donc c=0 La matrice est bien diagonale. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Julien__ Posté(e) le 2 janvier 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 D'accord, j'ai bien compris cette partie, merci beaucoup, mais pour expliciter des valeurs de coefficient, comment pourrais-je faire ? Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 2 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 Je suppose que tu parles de la question 1)c). Comme M est diagonale, son carré vaut (a² 0 0 d²) Par identification avec D, il vient a²=2 soit a=±√2 d²=1 soit d=±1 Ceci te donne donc 4 matrices en combinant les possibilités de signes, par exemple (√2 0 0 1) (-√2 0 0 1) etc... N.B. : Pour éviter toute ambiguïté, précise toujours le numéro de la question. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Julien__ Posté(e) le 2 janvier 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 Ah mais oui, c'était donc aussi simple que ça, merci ! il y a 9 minutes, julesx a dit : N.B. : Pour éviter toute ambiguïté, précise toujours le numéro de la question. D'accord, je prends note :)) Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 2 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 Juste une question, pour le calcul matriciel, tu dois le faire à la main ou tu as droit à la calculette ? A domicile, si nécessaire, tu peux utiliser un logiciel de calcul symbolique type Xcas, ce qui est intéressant lorsque les coefficients sont par exemple des racines comme c'est le cas ici. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Julien__ Posté(e) le 2 janvier 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 C'est dans le cadre d'un Devoir Maison, donc je peux le faire à la calculatrice pour vérifier mes calculs, mais les étapes doivent êtres écrites. Merci pour le logiciel, je vais aller voir ! Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 2 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 2 janvier 2021 Bon, comme tous les logiciels, ça demande un peu d'apprentissage, on n'a rien sans rien. Ci-joint un exemple de ce qu'on peut faire (c'est une des réponses à la dernière question). Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Julien__ Posté(e) le 3 janvier 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 3 janvier 2021 Bonjour, merci pour votre implication, vous me sauvez la vie ! J'aurais une autre question, pour la 2/c), je ne vois pas du tout comment on peut arriver à montrer que X2 = A <=> M2 = D... Pourriez-vous s'il-vous-plaît m'expliquer ? Merci d'avance Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 3 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 3 janvier 2021 Désolé, c'est là que ça coince aussi pour moi. Je ne vois pas où l'auteur veut en venir avec cette équivalence. Je ne dois pas avoir l'esprit suffisamment "matheux" (n'étant pas prof de maths de formation). Par contre, en partant de M²=D, on peut montrer que la forme des solutions est X=P.M.P-1, c'est peut-être dans cette optique qu'à été écrite la question 2)c). Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Julien__ Posté(e) le 3 janvier 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 3 janvier 2021 J'ai peut-être une piste, j'ai retrouvé une note de ma part, sûrement quelque chose qui à été dit en classe. Voici : (P-1XP)2 = P-1*X2*P Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 3 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 3 janvier 2021 Oui, c'est ce que je sous-entendais dans ma réponse précédente : M²=D =>P.M².P-1=P.D.P-1=A P.M².P-1=P.M.M.P-1=P.M.P-1.P.M.P-1=(P.M.P-1)² d'où X²=(P.M.P-1)² etc... Julien__ a réagi à ceci 1 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Julien__ Posté(e) le 3 janvier 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 3 janvier 2021 J'ai trouvé pour la question c du 2, c'est bon ! Merci beaucoup pour votre aide ! Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 3 janvier 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 3 janvier 2021 De rien, bonne continuation. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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