Exercice continuité et dérivée

[0utilisateur0123]

Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide pour un exercice. Voici le sujet :

 

On considère maintenant la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥)=(2−𝑥)𝑒^𝑥.

 

1) Dresser le tableau de variations de f sur R.

J'ai dérivé en uv= u'v+uv' et j'ai trouvé f'(x) = e^x(1-x)

Le signe de la dérivée dépend de 1-x comme l'exponentielle est toujours positive.

J'ai donc comme variations de f, croissante sur [-infini; 1] et décroissante sur [1; +infini]

Pour la lim en -inf j'ai 0, l'image de f(1)=e=environ 2,72 et là j'ai un problème pour la lim en +infini, je n'arrive pas à faire apparaitre la limite de référence e^x/x

 

2) Déterminer, par le calcul, une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 2

T2 : y = f'(2)(x-2) + f(2), je trouve -7,39x + 14,78 mais ça me parait vraiment bizar

 

3) Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥)=−1 admet une unique solution 𝛼 sur ℝ.

 

C'est là que j'ai un gros problème, étant donné que je ne trouve pas la lim en +infini je n'ai pas mon tableau complet donc je ne sais pas où est ma solution, logiquement elle est sur [1;+infini] comme sur [-infini; 1] les images sont comprises entre 0 et 2, 72

 

Je penses vraiment qu'il y a une grosse erreur quelque part mais je vois vraiment pas où, ce serait très gentil si vous pouviez me débloquer :)

[julesx]

Bonjour et bienvenue sur le site,

1) Oui pour la limite en -infini. Pour celle en +infini, c'est simple, x*e^x tend vers +infini, donc -x*e^x tend  vers -infini et idem pour f(x). OK?

2) Les valeurs approchées de ton équation de la tangente sont correctes, mais, à mon avis, il vaut mieux garder les valeurs exactes en fonction, en particulier, de e.

3) Avec la bonne limite en +infini, tu ne devrais plus avoir de problème.

 

[0utilisateur0123]

@julesx

Je vous avoue que je ne comprends pas votre raisonnement pour la limite en +infini, parce que si on développe f(x) on a 2e^x -xe^x donc là je suis d'accord avec vous pour le -xe^x mais il reste le 2e^x et là on a une F.I... c'est pour ça que je ne trouve pas

[julesx]

En fait, il ne faut pas développer mais voir que 2-x se comporte comme -x. Si tu préfère, tu mets x en facteur : f(x)=x*(2/x-1)*e^x. 2/x tend vers 0, il reste donc -x*e^x qui tend bien vers - infini.

[0utilisateur0123]

@julesxmerci infiniment, c'est ce que j'essaye désespérément de faire depuis des heures et ça m'a bloqué que pour ça 

[julesx]

De rien, bonne continuation.