ÉQUATION CARTÉSIENNE EXO 12)

[MrX]

Bonsoir,
Pour le numéro 12) je rencontre de la difficulté
Voici l'énoncé :
Soit pi1 : 2x -y +5z -1=0
pi2: 3x +2y -z -4=0
pi3: 2x-y+4z-1=0
Déterminer une équation cartésienne du plan qui passe par 
a) P(4,-2,1) et Q(2,3,-3) et qui est perpendiculaire à p1
Ma démarche :
P(4,-2,1) et Q(2,3,-3)
vecteur normal 1 = (2,-1,5)
u(vecteur directeur)=Vecteur PQ(-2,5,-4)
nxPQ = (2,-1,5) * (-2,5,-4) = (-21,-2,8)
Rendu ici je suis coincé . Merci de votre aide.
b) R(-5,1,3) et qui est perpendiculaire à pi2 et à pi3.
Ma démarche
vecteur normal 2 = (3,2,-1)
vecteur normal 3 = (2,-1,4)
n2 x n3=(3,2,-1) x (2,-1,4) =(7,-14,-7)
=1/7 (1,-2,-1)
Rendu ici je suis coincé afin de répondre à la question merci de votre aide.

[pzorba75]

Pour le a), tu peux donner une représentation paramétrique du plan P' sous la forme alpha*vec(n1)+beta*vec(PQ), alpha, beta deux réels quelconques et vec(n1)=(2;-1,5) vecteur normal au plan P1.

Si tu veux une équation cartésienne, détermines un vecteur perpendiculaire vec(n')(a';b';c') aux deux vecteurs vec(n1) et vec(PQ) par les produits scalaires vec(p)*vec'n1)=0 et vec(p')*vec(PQ)=0 (ou le produit vectoriel si tu l'as appris) et ensuite une équation de P' sous la forme a'x+b'y+c'z+d'=0, tu obtiens d' en écrivant que le plan contient P ou Q.

Au travail.

[Black Jack]

Bonjour,

 

Alternative.

 

Une méthode parmi d'autres ...

Rappel :

Soit deux plans d'équations respectives : 
ax + by + cz + d = 0      et      a'x + b'y + c'z + d' = 0 
Ces deux plans sont perpendiculaires si et seulement si : 
aa' + bb' + cc' =  0 
------
a)

Soit ax + by + cz + d = 0 une équation cartésienne du plan cherché.
il est perpendiculaire au plan d'équation : 2x -y +5z -1=0 et donc on a :
2a - b + 5c = 0  (1)

S'il passe par P(4,-2,1), on a : 4a - 2b + c + d = 0 (2)
S'il passe par Q(2,3,-3), on a : 2a + 3b - 3c + d = 0 (3)

on a donc le système :

2a - b + 5c = 0
4a - 2b + c + d = 0
2a + 3b - 3c + d = 0

Dans lequel on peut choisir (presque) arbitrairement une de variables (non nulle) ... (préférable de réfléchir un rien pour avoir des valeurs rondes (ou presque), bien que cela ne soit pas obligatoire)

Un zeste de réflexion me pousse à choisir b = 2 (libre à toi de chercher comment j'ai fait ... ce n'est pas très difficile)

On résout alors le système et il vient : a = 21 ; b = 2 ; c = -8 et d = -72

21x + 2y - 8z - 72 = 0 est une équation cartésienne du plan cherché.
**********

Calculs non vérifiés.

 

 

[MrX]

Bonjour Black Jack et pzorba75

Suite a votre commentaire pour le a) j'ai pensé a faire ceci

1x-2y+8z-21(4)-2(-2)+8(1)=a
-21x-2y+8z=-72
-21x-2y+8z+72=0

Le corrigé arrive aussi a ca

En ce qui concerne le b) je rencontre des difficultés

Voici ma démarche

Voici l'énoncé : R(-5,1,3) et qui est perpendiculaire à pi2 et à pi3.

vecteur normal 2 = (3,2,-1)
vecteur normal 3 = (2,-1,4)
n2 x n3=(3,2,-1) x (2,-1,4) =(7,-14,-7)
=1/7 (1,-2,-1)

Si je prends comme point R(-5,1,3) Je crois qu'on peut faire ça 
x-2y-z -(-5)-2(1)-(3)=0 
x-2y-z+0=0 
x-2y-z=0 
Toutefois, le corrigé arrive à 
x-2y-z+10=0 

Merci de de votre aide.

[Black Jack]

Il y a 2 heures, MrX a dit :

Bonjour Black Jack et pzorba75

Suite a votre commentaire pour le a) j'ai pensé a faire ceci

1x-2y+8z-21(4)-2(-2)+8(1)=a
-21x-2y+8z=-72
-21x-2y+8z+72=0

Le corrigé arrive aussi a ca

En ce qui concerne le b) je rencontre des difficultés

Voici ma démarche

Voici l'énoncé : R(-5,1,3) et qui est perpendiculaire à pi2 et à pi3.

vecteur normal 2 = (3,2,-1)
vecteur normal 3 = (2,-1,4)
n2 x n3=(3,2,-1) x (2,-1,4) =(7,-14,-7)
=1/7 (1,-2,-1)

Si je prends comme point R(-5,1,3) Je crois qu'on peut faire ça 
x-2y-z -(-5)-2(1)-(3)=0 
x-2y-z+0=0 
x-2y-z=0 
Toutefois, le corrigé arrive à 
x-2y-z+10=0 

Merci de de votre aide.

C'est évidemment la même chose d'écrire -21x-2y+8z+72=0 que d'écrire 21x + 2y - 8z - 72 = 0

[MrX]

il y a 10 minutes, Black Jack a dit :

C'est évidemment la même chose d'écrire -21x-2y+8z+72=0 que d'écrire 21x + 2y - 8z - 72 = 0

D'accord merci Black Jack.

En ce qui concerne l'équation du b) pouvez-vous m'aider svp.
Voici l'énoncé :
Soit pi1 : 2x -y +5z -1=0
pi2: 3x +2y -z -4=0
pi3: 2x-y+4z-1=0

Voici ma démarche

Voici l'énoncé du b) : R(-5,1,3) et qui est perpendiculaire à pi2 et à pi3.

vecteur normal 2 = (3,2,-1)
vecteur normal 3 = (2,-1,4)
n2 x n3=(3,2,-1) x (2,-1,4) =(7,-14,-7)
=1/7 (1,-2,-1)

Si je prends comme point R(-5,1,3) Je crois qu'on peut faire ça 
x-2y-z -(-5)-2(1)-(3)=0 
x-2y-z+0=0 
x-2y-z=0 
Toutefois, le corrigé arrive à 
x-2y-z+10=0 

Merci de de votre aide.

[Black Jack]

Il y a 3 heures, MrX a dit :

Bonjour Black Jack et pzorba75

Suite a votre commentaire pour le a) j'ai pensé a faire ceci

1x-2y+8z-21(4)-2(-2)+8(1)=a
-21x-2y+8z=-72
-21x-2y+8z+72=0

Le corrigé arrive aussi a ca

En ce qui concerne le b) je rencontre des difficultés

Voici ma démarche

Voici l'énoncé : R(-5,1,3) et qui est perpendiculaire à pi2 et à pi3.

vecteur normal 2 = (3,2,-1)
vecteur normal 3 = (2,-1,4)
n2 x n3=(3,2,-1) x (2,-1,4) =(7,-14,-7)
=1/7 (1,-2,-1)

Si je prends comme point R(-5,1,3) Je crois qu'on peut faire ça 
x-2y-z -(-5)-2(1)-(3)=0 
x-2y-z+0=0 
x-2y-z=0 
Toutefois, le corrigé arrive à 
x-2y-z+10=0 

Merci de de votre aide.

Rebonjour,

 

2)

perpendiculaire à Pi2 --> 3a + 2b - c = 0  (1)
perpendiculaire à Pi3 --> 2a - b + 4c = 0  (2)
passe par R --> -5a + b + 3c + d = 0  (3)

On peut choisir une des variables ...
Pour trouver des valeurs "qui vont bien", essayer d'exprimer 3 des variables en fonction de la 4ème :

2*(1) - 3*(2) --> 6a + 4b - 2c - 3*(2a - b + 4c) = 0
4b - 2c + 3b - 12c = 0
b = 2c  

dans(1) --> 3a + 4c - c = 0
a = -c

dans(3) --> 5c + 2c + 3c + d = 0
d = -10c

on "Choisit" par exemple c = -1 --> a = 1 ; b = -2 et d = 10

---> x - 2y - z + 10 = 0 est une équation cartésienne du plan cherché.