Loi a densité

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Pour équiper les roues de ses vélos, Cathy, une cycliste confirmée dispose de deux types de chambres à air :

► 60 % sont de la marque Aplein (1) ;

► les autres de la marque Apla (2).

Pour son vélo, elle n’utilise que des chambres à air qui n’ont jamais crevé (elle donne, après réparations, les chambres à air qui ont crevé à son jeune frère).

La distance D1 (en km) parcourue sans crevaison par une roue arrière équipée d’une chambre à air Aplein suit la loi exponentielle de paramètre λ1 = 2×10^−3 et la distance D2 (en km) parcourue sans crevaison par une roue arrière équipée d’une chambre à air Apla suit la loi exponentielle de paramètre λ2 = 3×10^−3.

Partie A

Cathy équipe la roue arrière de son vélo d’une chambre à air Aplein.

1. Montrer que la probabilité qu’elle puisse effectuer au moins 300 km sans que cette roue ne crève est de 0,55 à 10^−2 près.

2. Montrer que la probabilité que son pneu arrière crève entre 400 et 500 km est de : e^−400λ1 − e^−500λ1.

3. Deux semaines plus tard, elle a effectué 600 km sans crever. Quelle est la probabilité qu’elle puisse en effectuer 300 de plus sans que sa roue arrière ne crève ?

Partie B

On note A1 (resp. A2 ) la distance parcourue par une roue avant équipée d’un pneu Aplein (resp. Apla). On suppose que les variables aléatoires A1 et A2 suivent des lois exponentielles.

Une étude statistique affirme que l’on effectue deux fois plus de kilomètres sans crever de la roue avant que de la roue arrière. On peut interpréter ce résultat grâce aux formules : E(A1) = 2×E(D1) et E(A2) = 2×E(D2).

1. Déterminer les paramètres des lois exponentielles suivies par A1 et A2.

2. Compléter le tableau suivant donnant les paramètres des lois exponentielles associées aux distances parcourues sans crevaison par les roues selon leur emplacement et la chambre à air. 

 

Emplacement de la roue Marque	Aplein	Apla
Avant
Arrière	2×10^−3	3×10^−3

1. Cathy a équipé ses deux roues de chambres à air Aplein. Montrer que la probabilité qu’elle effectue plus de d kilomètres sans qu’aucune de ses roues ne crève est: P (A1≥d )×P (D1≥d )                    =e−3×10−3d . 

 

Partie C

Cathy choisit, au hasard, une nouvelle chambre à air pour sa roue arrière et une nouvelle chambre à air pour sa roue avant. Soit D (en km) la distance parcourue avant crevaison.

1. Démontrer que la probabilité qu’il n’y ait pas de crevaison avant d km est : P(D≥d)=0,36e^−3×10−3 d + 0,24e^−4×10−3d +0,24e^−3,5×10−3d +0,16e^−4,5×10−3d.

2. Calculer la probabilité qu’elle crève dans les 100 premiers kilomètres. 

 

 

S'IL TE PLAÎT  @Barbidoux

[pzorba75]

Tu peux appliquer les formules du cours, par exemple pour A1

p(D>=300)=exp(-2*10^-3*300)=0,54881 soit 0,55 à 10^-2 près.

Pour A2 et A3, il suffit d'appliquer le cours et les formules de la loi exponentielle de paramètre λ₁ = 2×10⁻³.

À toi de t'y mettre, il n'y a pas de difficulté dans cet série de questions, juste un peu de calcul.