Devoir mathématiques

[eliopa2345]

Bonjour j'ai bcp de difficultés avec cet exercice.

@Barbidoux

[Barbidoux]

Pour débuter...

1-------------
f(x)=ln(x^3+1)/2
f'(x)=3*x^2/(2*(x^3+1)) > sur [0,1]  donc fonction croissante sur cet intervalle
x………0………………….1
f(x)……0……..crois………ln(2)
2a-------------
u0=1≥0
u1=0.347 ≥0
u2=0.0204 ≥0
……..
on suppose un≥0
u_n+1=ln(un^3+1)/2
comme un>0 ==>un^3+1==> ln(un^3+1)/2 >0
la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n
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u0=1
u1=0.347 ≤u0
u2=0.0204 ≤u1
……..
on suppose un≤u_n-1
u_n+1=ln(un^3+1)/2
u_n+1-u_n=ln(un^3+1)/2-ln(un-1^3+1)/2=ln((un^3+1)/un-1^3+1))
comme 0≤un≤un-1 ==> 0≤un^3≤un-1^3 ==> 0≤un^3+1≤un-1^3+1
==> (un^3+1)/un-1^3+1)≤1 ==> ln((un^3+1)/un-1^3+1))≤0
==> u_n+1-un≤0 n
la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et la suite un est décroissante