Probabilités et lois

[elina568]

Bonjour à tous! En prévision d'un DS, je m'entraîne sur quelques exercices dont celui là. Pourriez-vous m'aiguiller sur la question sur laquelle je bloque et me dire si j'ai fait des erreurs? Dans la question 3),  je trouve le n=0.084 étrange mais en refaisant le calcul avec n=85 je trouve bien une probabilité inférieure à 1%... Merci d'avance  

EXERCICE A

Nous possédons un test pour détecter la contamination de grains de blés. En cas de contamination, on suppose qu’il ne détecte que dans un cas sur 5 tandis qu’ils ne signale jamais le grain comme contaminé s’il ne l’est pas. On voudrait se servir de ce test pour vérifier régulièrement que la production n’est pas contaminée. On vous propose de régulièrement extraire un échantillon de grains de taille n = 15 à tester en escomptant au moins une détection en cas de contamination. L’issue du test est supposée indépendante entre les grains de l’échantillon sachant qu’une contamination des grains a eu lieu.

1. Sur un échantillon contaminé, quelle est la probabilité qu’aucun grain de l’échantillon ne soit détecté par le test ?

 On répète 15 fois une expérience de Bernoulli, afin de savoir si un grain est contaminé.

Soit X une variable aléatoire discrète correspondant au nombre de grains contaminés détectés par ce test. 

X~B(15,0.2) car n=15 et p=1/5 soit 0.2.

p(X=0) = p^k * (1-p)^n-k

             = 0.2⁰*(1-0.2)¹⁵

             = 0.03

2. Sur 10 ´échantillons contaminés, soit X l’´évènement selon lequel au moins un de ces 10 ´échantillons testés n’est pas détecté. Que vaut la probabilité de X ?

1  On commence par calculer la probabilité qu’aucun grain ne soit détecté dans un échantillon contaminé contenant 10 grains. X~B(10,0.2)

p(X=0) = p^k * (1-p)^n-k

             = 0.2⁰*(1-0.2)¹⁰

             = 0.11

La probabilité qu’aucun grain de cet échantillon contaminé ne soit détecté par le test est de 0.11.

Ainsi, soit T la variable aléatoire discrète correspondant au nombre d’échantillons contaminés non détectés.

 

T~B(10,0.11) car n=10 et p=0.11

p(T>=1) = 1-p(T=0)

             = 1-(0.11⁰ * (1-0.11)^10-0

             = 1-0.31 = 0.69

3. Combien faudrait-il prendre de grains dans nos échantillons pour que cette probabilité tombe à moins de 1% ?

1 Il faudrait prendre de plus grands échantillons pour être sûrs de détecter au moins un grain contaminé en cas de contamination.

 

 

 

p(T>=1)=1-p(X=0)                                                              ó 1-0.89ⁿ < 0.01

            =1-0.11⁰*(1-0.11)ⁿ                                                       ó 0.89ⁿ<0.99

            = 1-(1-0.11)ⁿ                                                           ó n*ln(0.89)>ln(0.99)    car ln E R+

            =1-0.89ⁿ                                                                  ó n> 0.084 soit 85 grains.

 

4. Au bout de combien d’échantillons contaminés de taille 15 a-t-on 90% de chances d’en avoir un non détecté ?

 

 je ne sais pas comment faire..

 

 

 

 

 

 

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Le sujet est assez mal écrit. J'ai du le lire une bonne dizaine de fois pour le comprendre. Peux tu nous envoyer l'original car je doute encore un peu. C'est pourquoi, je ne détaille pas mon raisonnement.

1) Très mal justifié. Avant de faire les questions, tu dois analyser plus finement l'énoncé. Mais la valeur est correcte.

2) Tu as mal lu la question, ton calcul ne répond pas à la question. Ce n'est pas ce qui est demandé (je trouve 30 % pour le moment).

3) Je trouve 31

4) Je trouve la formulation bizarre et si je l'applique bêtement, je trouve qu'il n'y a pas de solution (majorant inférieur à 0,4).

[Barbidoux]

Salut Nicolas, j'espère que le confinement ne te pèse pas trop...

sans trop de certitudes vu la rédaction du sujet , ( je compte sur toi pour me corriger....)  ... j'aurais répondu :

EXERCICE A
Nous possédons un test pour détecter la contamination de grains de blés. En cas de contamination, on suppose qu’il ne détecte que dans un cas sur 5 tandis qu’ils ne signale jamais le grain comme contaminé s’il ne l’est pas. On voudrait se servir de ce test pour vérifier régulièrement que la production n’est pas contaminée. On vous propose de régulièrement extraire un échantillon de grains de taille n = 15 à tester en escomptant au moins une détection en cas de contamination. L’issue du test est supposée indépendante entre les grains de l’échantillon sachant qu’une contamination des grains a eu lieu.
1. Sur un échantillon contaminé, quelle est la probabilité qu’aucun grain de l’échantillon ne soit détecté par le test ?
----------------
Loi binomiale B{15; 0,2}
X=nb de grains le grain contaminés
P(X=0)=(1-0.2)^15=0.0351=3.51%
----------------
2. Sur 10 ´échantillons contaminés, soit X l’´évènement selon lequel au moins un de ces 10 échantillons testés n’est pas détecté. Que vaut la probabilité de X ?
----------------
La probabilité qu'un échantillon contaminé ne soit pas détecté vaut 1-0.0351 et 10 échantillons sont testés....
1=P(X=0)+P(X≥1) ==> P(X≥1) =1-P(X0)=1-(1-0.0351)^10=0.300=30%
----------------
3. Combien faudrait-il prendre de grains dans nos échantillons pour que cette probabilité tombe à moins de 1% ?
---------------
La probabilité qu'un échantillon contaminé  de taille n ne soit pas  détecté  vaut 1-(0.8)^n
1=P(X=0)+P(X≥1) ==> P(X≥1) =1-P(X=0)=1-(1-(0.8)^n)^10<0.01 ==> (1-(1-0.2)^n)^10>0.01 ==> n>30.93 ==> n=31
Vérification
P(X≥1) =1-P(X0)=1-(1-(1-0.2)^31)^10=0.00986
---------------

4. Au bout de combien d’échantillons contaminés de taille 15 a-t-on 90% de chances d’en avoir un non détecté ?
---------------   
1=P(X=0)+P(X≥1) ==> P(X≥1) =1-P(X=0)=0.9 ==> P(X=0)=0.1 ==>(1 - 0.035)^n = 0.1 ==> n=64.63 ==> n=65
---------------

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir Bernard !

Le confinement reste épuisant autant pour les classes virtuels que pour le confinement (en IdF, ce n'est pas du tout agréable). Et puis, mes choupis me manquent un peu quand même. Cela fait longtemps.

J'espère que tu vas bien également :)

Pour l'exo, ça me gène d'utiliser X dans chaque question. Les pauvres élèves ont du beaucoup se perdre avec un X qui apparaît à la deuxième question (et peu laisser penser qu'il faut le réutiliser...).

Q1. Je trouve que le p = 0,2 est amené un peu rapidement sur la Q1 car il n'est pas donné. A mon avis, il faut le calculer (même si les autres données vont faire que la valeur va se confondre) au regard de l'énoncé.

Q3. Il faut traiter les inégalités pour trouver que n => 30,93 => 31.

Q4. Tu as modifié la question en : « .... chances d’en avoir au moins un de non détecté ? Cela dit, dans mon premier jet, j'ai fait comme toi car ce n'est pas logique comme question.

Après, je n'enseigne pas les maths. Cela reste à mon humble niveau (de casse pieds reconnu :P).

Mais au moins, j'ai un peu plus de temps pour passer sur le forum.

[Barbidoux]

il y a 53 minutes, Boltzmann_Solver a dit :

Bonsoir Bernard !

Le confinement reste épuisant autant pour les classes virtuels que pour le confinement (en IdF, ce n'est pas du tout agréable). Et puis, mes choupis me manquent un peu quand même. Cela fait longtemps.

Tu vas peut être en récupérer un partie d'ici quelques temps, je l'espère pour toi... Je comprend qu'ils te manquent, cela me manque aussi .......

J'espère que tu vas bien également

Oui ça va. Heureusement pour moi les occupations ne manquent pas....mais je vais quand même rester bien planqué car si j'étais contaminé la probabilité que j'aurais de m'en sortir (âge + comorbidité) serait malheureusement assez faible...Toujours ces foutues probabilités on n'en sort pas ....?

Pour l'exo, ça me gène d'utiliser X dans chaque question. Les pauvres élèves ont du beaucoup se perdre avec un X qui apparaît à la deuxième question (et peu laisser penser qu'il faut le réutiliser...).

Q1. Je trouve que le p = 0,2 est amené un peu rapidement sur la Q1 car il n'est pas donné. A mon avis, il faut le calculer (même si les autres données vont faire que la valeur va se confondre) au regard de l'énoncé.

Q3. Il faut traiter les inégalités pour trouver que n => 30,93 => 31.

Q4. Tu as modifié la question en : « .... chances d’en avoir au moins un de non détecté ? Cela dit, dans mon premier jet, j'ai fait comme toi car ce n'est pas logique comme question.

Si la question est "un exactement"  la résolution pose problème , j'ai donc considéré que le un "au moins" était implicite ... ce qui simplifiait la résolution.

Encore merci de tes remarques, j'espère que l'élève en tirera profit (comme moi d'ailleurs)  .

Après, je n'enseigne pas les maths.

Tu devrais car je pense que l'EN manque singulièrement de personnel compétent dans cette matière. Je n'ai rien contre les remplaçants qui font ce qu'il peuvent, mais 

avec la meilleur volonté du monde être prof (dans n'importe qu'elle discipline) cela ne s'improvise pas ... Amitiés

Bernard

 

[Boltzmann_Solver]

Prends soin de toi quand même ! Inutile de prendre des risques inutiles en sortant. Même si les livraisons sont peut-être plus compliquées par chez toi (encore que…).


Oui, je pense les revoir assez rapidement même si je sens que cette fin d’année va se faire à la carte, quelque soit la date de retour.


Tu sais, avec la réforme des lycées, la pénurie de prof de maths (ou de physique car si je ne prenais pas d'heures sups, aucune absence de moins d'un mois ne serait remplacée) va s'adoucir un peu. On ferme trois postes de maths l'année prochaine sur 22. Et en science, ce n'est pas glorieux, mais il y a l'enseignement scientifique et les postes stagiaires pour faire tampon pour le moment. On a encore chaud aux miches.


Ceci étant dit, je suis bien trop rigoriste en physique au regard de l'esprit des programmes (et comme mon inspectrice déteste le formalisme mathématique, je te laisse imaginer en inspection…). Cela serait plus à mon avantage en maths.


Mais deux choses ne me feront pas partir de physique :


- je commence à avoir des TP aux petits oignons maintenant (et c'est cool^^).


- la réforme fait qu'il n'y a plus de poste en lycée (l'année prochaine, ils vont mettre une partie des agrégés néotit en collège) et je ne veux pas retourner au collège.

[elina568]

Il y a 19 heures, Boltzmann_Solver a dit :

Bonjour,

Le sujet est assez mal écrit. J'ai du le lire une bonne dizaine de fois pour le comprendre. Peux tu nous envoyer l'original car je doute encore un peu. C'est pourquoi, je ne détaille pas mon raisonnement.

1) Très mal justifié. Avant de faire les questions, tu dois analyser plus finement l'énoncé. Mais la valeur est correcte.

2) Tu as mal lu la question, ton calcul ne répond pas à la question. Ce n'est pas ce qui est demandé (je trouve 30 % pour le moment).

3) Je trouve 31

4) Je trouve la formulation bizarre et si je l'applique bêtement, je trouve qu'il n'y a pas de solution (majorant inférieur à 0,4).

Bonjour, 

Tout d'abord, merci d'avoir pris le temps de me répondre! Je vous mets en pièce jointe la capture d'écran du sujet.

Il y a 16 heures, Barbidoux a dit :

Salut Nicolas, j'espère que le confinement ne te pèse pas trop...

sans trop de certitudes vu la rédaction du sujet , ( je compte sur toi pour me corriger....)  ... j'aurais répondu :

EXERCICE A
Nous possédons un test pour détecter la contamination de grains de blés. En cas de contamination, on suppose qu’il ne détecte que dans un cas sur 5 tandis qu’ils ne signale jamais le grain comme contaminé s’il ne l’est pas. On voudrait se servir de ce test pour vérifier régulièrement que la production n’est pas contaminée. On vous propose de régulièrement extraire un échantillon de grains de taille n = 15 à tester en escomptant au moins une détection en cas de contamination. L’issue du test est supposée indépendante entre les grains de l’échantillon sachant qu’une contamination des grains a eu lieu.
1. Sur un échantillon contaminé, quelle est la probabilité qu’aucun grain de l’échantillon ne soit détecté par le test ?
----------------
Loi binomiale B{15; 0,2}
X=nb de grains le grain contaminés
P(X=0)=(1-0.2)^15=0.0351=3.51%
----------------
2. Sur 10 ´échantillons contaminés, soit X l’´évènement selon lequel au moins un de ces 10 échantillons testés n’est pas détecté. Que vaut la probabilité de X ?
----------------
La probabilité qu'un échantillon contaminé ne soit pas détecté vaut 1-0.0351 et 10 échantillons sont testés....
1=P(X=0)+P(X≥1) ==> P(X≥1) =1-P(X0)=1-(1-0.0351)^10=0.300=30%
----------------
3. Combien faudrait-il prendre de grains dans nos échantillons pour que cette probabilité tombe à moins de 1% ?
---------------
La probabilité qu'un échantillon contaminé  de taille n ne soit pas  détecté  vaut 1-(0.8)^n
1=P(X=0)+P(X≥1) ==> P(X≥1) =1-P(X=0)=1-(1-(0.8)^n)^10<0.01 ==> (1-(1-0.2)^n)^10>0.01 ==> n>30.93 ==> n=31
Vérification
P(X≥1) =1-P(X0)=1-(1-(1-0.2)^31)^10=0.00986
---------------

4. Au bout de combien d’échantillons contaminés de taille 15 a-t-on 90% de chances d’en avoir un non détecté ?
---------------   
1=P(X=0)+P(X≥1) ==> P(X≥1) =1-P(X=0)=0.9 ==> P(X=0)=0.1 ==>(1 - 0.035)^n = 0.1 ==> n=64.63 ==> n=65
---------------

Bonjour, 

Merci à vous aussi pour votre réponse! J'ai compris la question 2) c'est ce que j'avais fait initialement, mais je ne comprends pas comment on peut appliquer une probabilité calculée pour 15 grains à un calcul pour 10 échantillons...

J'ai compris la question 3) et pour la 4) je comprends le raisonnement c'est la question qui m'avait un peu perdue… Je vais essayer de la refaire de mon coté.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Élina,

Je t'en prie !

Apparemment, tu as bien recopié ton énoncé. Peux tu contacter l'enseignant pour te faire confirmer la dernière question car elle n'a pas de solution. Avec une résolution graphique, je trouve une probabilité inférieure à 40 % quelque soit la taille de l'échantillon.

Pour orienter mes questions, tu es en 1ère (théoriquement possible) mais peu probable, terminale, ou bac +1 ?

En attendant, si je note Y_n : « aucun grain contaminé est détecté dans l’échantillon de taille n ». Tu as dit que Y_n ~ B(n ; p) avec p = 0,2. Peux tu démontrer que p = 0,2 (ce n'est pas directement dit dans l'énoncé).

[elina568]

Je suis en L1. Sans le confinement, nous aurions dû aborder un chapitre sur les tests statistiques.  C'est peut être ça qu'il faut utiliser pour la question 4. 

Le test ne détecte qu'un grain contaminé sur 5 ce qui fait 0.2. De ce fait, dans la loi binomiale, la probabilité de succès par essai est de 0.2.

[Boltzmann_Solver]

il y a 9 minutes, elina568 a dit :

Je suis en L1. Sans le confinement, nous aurions dû aborder un chapitre sur les tests statistiques.  C'est peut être ça qu'il faut utiliser pour la question 4. 

Le test ne détecte qu'un grain contaminé sur 5 ce qui fait 0.2. De ce fait, dans la loi binomiale, la probabilité de succès par essai est de 0.2.

Ça roule.

Comme je te l'ai indiqué, on ne donne pas le p = 0,2. Il faut le démontrer (il aurait pu le donner directement, je suis assez d'accord). Pour cela, commence par me traduire l'énoncé rigoureusement.

Par contre, je te fais grâce du baratin sur l'utilisation de la loi binomiale.

 

Non, il n'y a pas de test ici. La 2 et la 4 (en modifiant comme comme Barbidoux) se font de la même manière.

[elina568]

Désolée, je n'ai jamais eu à faire ça alors je ne sais pas trop… Y'a t-il une formule à appliquer pour déterminer p?

Egalement, je me suis entrainée à la question 4), et pour être sûre d'avoir bien compris je l'ai refaite mais avec la taille d'échantillon déterminée à la question 3). Pourriez-vous me dire si c'est correct ?

1  X~B(31,0.2) car n=31 et p=1/5 soit 0.2

p(X=0) = p^k * (1-p)^n-k

             = 0.2⁰*(1-0.2)³¹

             = 0.0099

La probabilité qu’aucun grain d’un échantillon contaminé de 31 grains ne soit détecté par ce test est de 0.0099.

P(X≥1) =1-P(X=0)=0.9

ó P(X=0)=0.1

ó(1-0.009)ⁿ=0.1

ó log(0.991ⁿ⁾= log(0.1)

ón * log(0.991) = log(0.1)

ó n= 254.69 = 250

 

[Boltzmann_Solver]

Je n'arrive pas à t'aider. Je laisse Barbidoux finir.