Pdt.scalaire et Suites

[Tar10]

Bonjour je souhaiterais avoir de l’aide pour ces exos, étant donné que je suis assez incertain quant aux résultats...

 

3)Soit ABC le triangle tel que AB = 10; AC = 16 et BC = 8. Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

a) Calculer (vecteur)AB.AC.

b) En déduire AH

c) Calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de l’angle BAC. ( On pourra utiliser une autre formule du produit scalaire : AB.AC = AB * AC * cosBAC).

 a)

AB.AC = 1/2(IIABII^2+IIACII^2-IIAB-ACII^2)

= 1/2(10^2+16^2-(10-16)^2)

= 160 

b ) 

je ne sais pas trop comment déterminer AH.

c)

Mais pour la formule étant donné que je «pense»avoir le « bon résultat » du produit scalaire AB.AC, je me retrouve à appliquer la formule et résoudre une équation à une inconnue:

AB.AC = AB*AC*cosBAC

160 = 10*16*cosBAC

-160*cosBAC = -160

cosBAC = -160/-160 = 1 ? ce qui me donne en degré : 

cos( 1) ~=0,99 

 

4)En 2010, un pays comptait 100 milliers d'hectares de forêt. On estime que chaque decennie, 20% de cette couverture forestiere disparaît. Afin de lutter contre ce fleau , chaque decennie , une organisation plante des arbres sur 7milliers d'hectares. On note Un la couverture forestiere pour l’année 2010+10n. Ainsi U0= 100.

a) Calculer  U1 et interpréter le résultat obtenu.

b) Soit la suite (Vn) definie par Vn = Un - 35. Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 0,8.

c) En déduire que pr tout n, (Un)= 65*0,8n (au carré)+ 35

d) Quelle sera alors la couverture forestière en 2150 si on suit ce modèle ?

a)

U1 = 100*0,8+7 = 87 milliers d’hectares de couverture forestière après une décennie, donc U1 (en prenant en compte tout les paramètres de la décennie précédente)

 

b)

Vn = Un-35

V(n+1)= U(n+1)-35

V(n+1) = 0,8Un+7-35

= 0,8Un-28

Vn = Un-35

Un = Vn +35

Vn+1 = 0,8(Vn+35)-28

= 0,8Vn+28-28

= 0,8Vn donc suite géo de raison q = 0,8 ?

 

c)d)

Je ne sais pas comment répondre à ces questions. 

[Barbidoux]

Soit ABC le triangle tel que AB = 10; AC = 16 et BC = 8. Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

a) Calculer (vecteur)AB.AC.
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vect(AB).vect(AC)= vect(AB).(vect(AB)+vect(BC))= vect(AB)^2+ ((vect(AB)+vect(BC)^2)-vect(AB)^2-vect(BC)^2)/2= vect(AB)^2+ (vect(AC)^2)-vect(AB)^2-vect(BC)^2)/2=146
--------------------
b) En déduire AH
--------------------
vect(AB).vect(AC)=AB*AH==146 ==> AH+14.6
----------------------
c) Calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de l’angle BAC. ( On pourra utiliser une autre formule du produit scalaire : AB.AC = AB * AC * cosBAC).
 --------------------
vect(AB).vect(AC)=|vect(AB).|*|vect(AC)|*cos(BAC)=146 ==>  cos(BAC)=146/160 ==> BAC=ArcCos(146/160)*180/π=24.15°
--------------------

4)En 2010, un pays comptait 100 milliers d'hectares de forêt. On estime que chaque decennie, 20% de cette couverture forestiere disparaît. Afin de lutter contre ce fleau , chaque decennie , une organisation plante des arbres sur 7milliers d'hectares. On note Un la couverture forestiere pour l’année 2010+10n. Ainsi U0= 100.
a) Calculer  U1 et interpréter le résultat obtenu.
-------------------
u1=100*0.8+7=87
-------------------
b) Soit la suite (Vn) definie par Vn = Un - 35. Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 0,8.
-------------------
vn=un-35
v_n+1=u_n+1-35=0,8*un+7-35=0.8*vn

vn est une suite géométrique de premier terme 65 et de raison 0.8 ==>
-------------------
c) En déduire que pr tout n, (Un)= 65*0,8^n+ 35=0.8*vn
vn=0.65*0.8^n ==> un= 0.65*0.8^n +35
-------------------
d) Quelle sera alors la couverture forestière en 2150 si on suit ce modèle ?
-------------------
2150 année de rang n=14
u14=0.65*0.8^14+35=35.03
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[Tar10]

Je vous remercie beaucoup pour ces explications, néanmoins j’avais trouvé une autre configuration pour le triangle ABC( ce qui m’a sûrement «gêné» dans mes calculs) ou à la place de votre base AC = 16, je l’ai remplacé par AB = 10, avec pour "sommet" donc C et du coup en faisant le projeté orthogonal avec H depuis le point C, j’obtiens donc un triangle «scindé» en 2 autres triangles rectangle au point H. Je ne sais pas si je suis clair ?. Du coup, au final je ne sais pas quelle configuration est juste et je voudrais bien avoir des explications pourquoi la votre est sûrement correcte ?

[Barbidoux]

La figure ainsi construite :

ne change en rien la résolution 

[Tar10]

Très bien, merci pour ces précisions.