Nombres complexes

[Laura Dubois]

Bonjour j’aurais besoin d’aide pour cet exercice 

voici le sujet 

[julesx]

Une possibilité est de passer par la forme exponentielle.

Exemple pour le premier :

1+i=√2*e^iπ/4 => (1+i)⁵=(√2*e^iπ/4)⁵=2^5/2*e^i5π/4=2^5/2cos(5π/4)+i2^5/2*sin(5π/4)=2^5/2*(-√2/2)+i2^5/2*(-√2/2)=-4-i4

 

[Laura Dubois]

J’ai du mal à comprendre le lien avec la fonction exponentielle 

[julesx]

Le fait de passer par la forme exponentielle évite d'avoir à calculer la puissance 5 ou la puissance 7 des termes par la méthode classique de multiplications successives.

 On utilise ici le résultat suivant que tu as du voir en cours :

(r*e^iӨ)ⁿ=rⁿ*e^inӨ

 

[Laura Dubois]

J’ai pas encore vu cette formule mais merci 

[julesx]

Sinon, pour le premier, le calcul classique est relativement rapide :

(1+i)⁵=(1+i)⁴*(1+i)

(1+i)⁴=[(1+i)²]²=(1+2i-1)²=4i²=-4

Il ne reste plus qu'à multiplier par 1+i pour obteni -4-4i.

Pour le deuxième, tu peux essayer une démarche similaire.

Sinon, il y a aussi la formule de De Moivre. As-tu vu celle-ci ?

[Laura Dubois]

Non pas encore mais je vous remercie j’ai une autre question. Je dois déterminer la formule trigonométrique de z=1+i√3

je sais calculer le module mais combien vaut b?

Pour l’instant j’ai ça 

J’en bloque actuellement 

[julesx]

Attention, grosse erreur de calcul dans le module :

(√3)²=3 et √(1+(√3)²) n'est pas égal à √1+√9 ! En fait, c'est √(1+(√3)²)=√(1+3)=2

Donc le cosinus vaut 1/2 et le sinus √3/2.