Exercice et Trigonomètrie

[Ranio]

Bonjour à tous j'a un exercie à faire (pour s'entrainer) et je bloque dessus on vient de commecer la trigonométrie et je trouve ça compliqué voci ce que j'ai trouvé :

 

1) Je ne sais pas comment faire il faut utiliser un théorème ?

2) a) f’(x) = 2(x – 1) + 2 sin(x) cos(x) et f’’(x) = 2 + 2(cos2(x) – sin2(x)) = 2(1 + cos(2x))

b) J' ai vérifié avec la calculatrice

c) f’ est continue sur   0 ;   π  2    . D'après le théorème des valeurs intermédiaires alpa est compris entre les 2 valeurs trouvés ô f'(alpha)=0

4)  Je crois avoir compris   M(α ; sin α) et AM(α – 1 ; sin α). 

 

 

Merci

[julesx]

Bonjour,

1) Pas de théorème, il faut utiliser la relation qui donne la longueur d'un segment en fonction des coordonnées des extrémités :

AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²=(x-1)²+(sin(x)-0)²

2)a) Oui, mais 2sin(x)cos(x)=sin(2x), qui donne la dérivée plus rapidement que de dériver 2sin(x)cos(x)

b) Qu'est-ce que tu as vérifié à la calculette ? On demande un tableau de variations.

c) Il faut citer correctement le TVI ! Que f'(x) soit continue sur l'intervalle considéré ne suffit pas.

Et qu'as-tu trouvé pour l'encadrement de α ?

3)a et b) ?

4) Le vecteur AM₀ a bien pour coordonnées (α–1;sin(α)) mais pour aller plus loin, il faut trouver un vecteur directeur de la tangente. 

[Ranio]

Pour la 1) notre prof nous a dit de nous aider du théorème de Pythagore comment je fais avec et sans ?

b) j'ai vérifié à la calculatrice les variations  on part de -2 ça s'annule pour alpha=0 donc croissante jusqu'à pi-2

c) Je ne comprends pas comment il faut le citer … et alpha est compris entre 0,5 et 0,6

4) comment je le trouve ce vecteur directeur ? 

 

[julesx]

1) Mon expression correspond à Pythagore. Pour s'en rapprocher au maximum, appelle H la projection de M sur l'axe des abscisses. Pythagore dit AM²=AH²+HM² avec AH=1-x et HM=sin(x).

2)b) Un tableau de variations est un "tableau" ! Cela dit, on part bien de -2 mais on aboutit à f'(π/2)= 2*(π/2-1).

c) Un professeur de mathématiques avait publié à l'époque dans un autre site ce "canevas" :

Soit f une fonction continue et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution x0 sur l'intervalle [a;b].

Tu peux éventuellement t'y reporter pour écrire ta réponse.

OK pour l'encadrement.

4) Le vecteur directeur de la tangente a pour coordonnées (1;cos(α)). Voir cours ou justification sur la toile.

N.B.: Tu ne dis toujours rien pour ce qui concerne la question 3).

 

[Ranio]

Pour la 2) je comprend pas le pi-2 c'est le f' , l'image c'est dans la ligne des variation de f

pour la 4) je dois faire ex : uAM avec u vecteur ? 

[julesx]

Il y a 14 heures, Ranio a dit :

Pour la 2) je comprend pas le pi-2 c'est le f' , l'image c'est dans la ligne des variation de f

Pour cette question, on demande le tableau de variations de f'(x) avec f'(x)=2(x-1)+sin(2x). f'(0)=1 et f'(π/2)= 2*(π/2-1) car sin(2*π/2)=0. Les variations de f(x) sont demandées à la question 3.

Il y a 14 heures, Ranio a dit :

pour la 4) je dois faire ex : uAM avec u vecteur ? 

Oui, si uAM désigne bien le vecteur vec(AM), car pour montrer que les droites sont perpendiculaires, il suffit de montrer que le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul.

Pour info, les deux tableaux de variations.

Modifié le 23 décembre 2019 par julesx

[Ranio]

Bonjour

Pour le dernier tableau il y a une petite erreur c'est de 0 à à pi/2

a) Quand vous avez dérivé vous avez utiliser quelle formule ? j'arrive pas à comprendre

c) Ici la fonction  est continue et strictement croissante  c'est ça ?   Pour la rédaction c'est suffisant ? 

3)a) Je met directement le tableau ou il faut qu'on explique comment on en déduit …. ?

Modifié le 23 décembre 2019 par Ranio

[julesx]

il y a 5 minutes, Ranio a dit :

Pour le dernier tableau il y a une petite erreur c'est de 0 à à pi/2

Exact, erreur de ma part.

il y a 5 minutes, Ranio a dit :

a) Quand vous avez dérivé vous avez utiliser quelle formule ? j'arrive pas à comprendre

Pour le 2)a) ? Si c'est de cela que tu parles, je pars comme toi de 2(x – 1) + 2sin(x)cos(x) mais je remplace  2 sin(x) cos(x) par sin(2*x) (c'est une relation trigonométrique classique). Ça va plus vite pour obtenir f''(x).

il y a 10 minutes, Ranio a dit :

c) Ici la fonction  est continue et strictement croissante  c'est ça ?   Pour la rédaction c'est suffisant ? 

A condition de préciser les valeurs de f'(a) et de f'(b). Il faut qu'elles soient de signe contraire pour qu'il y ait une valeur de x qui annule f'(x).

il y a 14 minutes, Ranio a dit :

3)a) Je met directement le tableau ou il faut qu'on explique comment on en déduit …. ?

Tu peux expliquer comment tu trouves le signe de f'(x) à partir du tableau de variation de cette fonction.

[Ranio]

Du coup j'explique pour la 3 a) que je résout l'équation >0 ? ou ….

[julesx]

Non, tu reprends simplement les résultats de la question 2) en disant que, vu le tableau de variations de f'(x), f'(x) est négatif entre 0 et α et positif entre α et π/2. Partant de là, tu traces le tableau de variations de f(x).

[Ranio]

Bonsoir j'ai une question pour la 2c) je dois mentionner que 0 appartient à l'intervalle image de (0;pi/2) est-ce que l'intervalle image est (-2, pi-2) ?  (crochet ouvert ou fermé)?

Et pour le TVI à la fin ce n'est pas f(alpha)=k    et on f(x) ? 

Et pour la 4  c'est f'(alpha)=cos(alpha) n'est-ce pas ? 

merci

 

[julesx]

Bonjour et bonne année !

Bonsoir j'ai une question pour la 2c) je dois mentionner que 0 appartient à l'intervalle image de (0;pi/2) est-ce que l'intervalle image est (-2, pi-2) ?  (crochet ouvert ou fermé)?

C'est bien le bon intervalle image. Tu peux mettre des crochets fermés car la fonction est définie sur l'ensemble

pour le TVI à la fin ce n'est pas f(alpha)=k    et on f(x) ? 

Je n'ai pas compris à quoi se rapporte ta question. α  est la valeur de x qui annule f'(x). Pour f(α), se rapporter à mon tableau de variations.

Et pour la 4  c'est f'(alpha)=cos(alpha) n'est-ce pas ? 

C'est bien ça.

[Ranio]

Bonsoir et BONNE ANNEE !!!!

Pour la question avec le alpha, c'est en fait quand je cite le TVI à la fin je dis que "qu'il existe une unique valeur α, telle que f(alpha)=0 ou c'est f(x) qu'il faut mettre j'ai un doute

 

Merci!

[julesx]

 

Il y a 1 heure, Ranio a dit :

Pour la question avec le alpha, c'est en fait quand je cite le TVI à la fin je dis que "qu'il existe une unique valeur α, telle que f(alpha)=0 ou c'est f(x) qu'il faut mettre j'ai un doute

Non, cette question (du moins si c'est bien la 2)c, mais je ne vois pas ce que ça pourrait d'autre) concerne la valeur qui annule la dérivée f'(x). Donc, quand tu cites le TVI, tu dis "il existe une unique valeur α, telle que f'(x)=0". Cela dit, si tu écris f'(α) à la place de f'(x), peut-être que ton professeur n'y verra pas d'inconvénient, je ne suis pas à sa place, et, en plus, je n'ai jamais enseigné les mathématiques, donc je ne connais pas toutes les subtilités des rédactions.

Par contre, c'est partant de là que dans la 3), tu en déduis le signe de f'(x) et les variations de f(x) avec sa valeur minimale.