Probabilités

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous,

Ma question est la suivante : lors de 5 tirages successifs à pile ou face (ou toute autre variable binaire) combien de combinaisons différentes avec 3 valeurs identiques peut-on obtenir ? Combien de combinaisons différentes avec 2 valeurs identiques ? 

J'arrive à déterminer le nombre total d'issues possibles : 2⁵ = 32. Il n'y a que deux tirages où toutes les valeurs sont identiques donc la probabilité associée est 2/32 = 1/16.

Pour quatre valeurs identiques , je m'en sors en visualisant les choses comme ceci : 0 0 0 0 1 donne 5 variantes possibles (le "1" peut se trouver à 5 places différentes) , idem avec le "0" dans 1 1 1 1 0.

Donc la probabilité d'obtenir 4 valeurs identiques est de 10/32 = 5/16

D'une manière générale, pour n tirages d'une variable pouvant prendre p valeurs, la probabilité d'obtenir n valeurs identiques est p / pⁿ = 1 / p^n-1 

Mais pour les nombres inférieurs à n de valeurs identiques, je patauge un peu... Y a-t-il par exemple une réponse d'ordre général à la question : "quelle est la probabilité d'obtenir m valeurs identiques (0<m<n) lorsqu'on tire n fois une variable pouvant prendre p valeurs ?"

[Black Jack]

Il y a 3 heures, C8H10N4O2 a dit :

Bonjour à tous,

Ma question est la suivante : lors de 5 tirages successifs à pile ou face (ou toute autre variable binaire) combien de combinaisons différentes avec 3 valeurs identiques peut-on obtenir ? Combien de combinaisons différentes avec 2 valeurs identiques ? 

J'arrive à déterminer le nombre total d'issues possibles : 2⁵ = 32. Il n'y a que deux tirages où toutes les valeurs sont identiques donc la probabilité associée est 2/32 = 1/16.

Pour quatre valeurs identiques , je m'en sors en visualisant les choses comme ceci : 0 0 0 0 1 donne 5 variantes possibles (le "1" peut se trouver à 5 places différentes) , idem avec le "0" dans 1 1 1 1 0.

Donc la probabilité d'obtenir 4 valeurs identiques est de 10/32 = 5/16

D'une manière générale, pour n tirages d'une variable pouvant prendre p valeurs, la probabilité d'obtenir n valeurs identiques est p / pⁿ = 1 / p^n-1 

Mais pour les nombres inférieurs à n de valeurs identiques, je patauge un peu... Y a-t-il par exemple une réponse d'ordre général à la question : "quelle est la probabilité d'obtenir m valeurs identiques (0<m<n) lorsqu'on tire n fois une variable pouvant prendre p valeurs ?"

Salut,

Comme presque toujours dans ce type d'exercice, il manque une précision fondamentale.

" combien de combinaisons différentes avec 3 valeurs identiques peut-on obtenir ?" est ambigu.

Faut-il comprendre :

a) " combien de combinaisons différentes avec EXACTEMENT 3 valeurs identiques peut-on obtenir ?"

ou bien 

b)  " combien de combinaisons différentes avec AU MOINS 3 valeurs identiques peut-on obtenir ?"

 

 

[C8H10N4O2]

Oui alors ce n'est pas véritablement un exercice, c'est une question que je me pose depuis que j'ai appris à jouer au Yahtzee (jeu à cinq dés avec lesquels il s'agit de réaliser différentes combinaisons de nombres).

Ma question doit se comprendre avec exactement n valeurs identiques.

[Black Jack]

Bonjour,

 

Avec 5 tirages, s'il y a exactement 3 valeurs identiques ... il y a aussi 2 valeurs identiques. 
Donc la proba d'avoir 3 tirages identiques et la même que celle d'avoir 2 tirages identiques.   

Avec 5 tirages, s'il y a exactement 4 valeurs identiques ... il y a aussi 1 "valeur identique".  
Donc la proba d'avoir 4 tirages identiques et la même que celle d'avoir 1 "tirage identique".    

Avec 5 tirages, s'il y a exactement 5 valeurs identiques ... il y a aussi 0 "valeur identique".  
Donc la proba d'avoir 5 tirages identiques et la même que celle d'avoir 0 "tirage identique".     

On a dans l'exemple :

Proba de 3 tirages identiques + Proba de 4 tirage identiques + Proba de 5 tirages identiques = 1

Proba de 3 tirages identiques + 5/16 + 1/16 = 1

Proba de 3 tirages identiques = 10/16 = 5/8

Et avec ce qui précède : Proba de 2 tirages identiques = 5/8 (équivalent à 3 tirages identiques)

Avec m tirages successifs à pile ou face, la proba d'avoir n valeurs identiques (avec m n) est C(n,m)/2^(m-1)

Ci dessus :
avec m = 5 et n = 3 ---> proba = C(3,5)/2^(5-1) = 10/16 = 5/8
avec m = 5 et n = 4 ---> proba = C(4,5)/2^(5-1) = 5/16 
avec m = 5 et n = 5 ---> proba = C(5,5)/2^(5-1) = 1/16

La somme des probas ci dessus est évidemment 1.

 

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup !