Décroissance de suite

[C8H10N4O2]

Bonsoir à tous !

Ma question est la suivante : dans quels cas la variation d'une suite se détermine par l'étude du signe de (U_n+1 - U_n) ? Et dans quels cas par l'étude du signe de U_n+1 / U_n .

Par exemple j'étudie en ce moment la démonstration de la méthode de Héron pour trouver une approximation de la racine carrée d'un nombre a et il s'agit de montrer que la suite des longueurs des rectangles successifs est décroissante. Et je ne comprends pas pourquoi on étudie U_n+1 / U_n.  plutôt que (U_n+1 - U_n) .

[Barbidoux]

Pour déterminer le sens de variation On compare u_n+1 et u_n en étudiant soit leur différence soit leur rapport selon la difficulté de l'évaluation de l'une ou de l'autre.

Dans la cas présent comme u_n>0 on peut écrire soit :

u_n+1=(1/2)(u_n+a/u_n) <===>2*(u_n+1-u_n)=a/u_n-u_n et comme u_n≥√a ==> 2*(u_n+1-u_n)≤0  ==> suite décroissante

soit : u_n+1/u_n=(1/2)*(1+a/u_n²)  et comme u_n≥√a ==> u_n+1/u_n≤1==> suite décroissante

[C8H10N4O2]

Il y a 14 heures, Barbidoux a dit :

Pour déterminer le sens de variation On compare u_n+1 et u_n en étudiant soit leur différence soit leur rapport selon la difficulté de l'évaluation de l'une ou de l'autre.

D'accord, je me demandais s'il existait un autre critère qui commandait d'étudier soit l'un soit l'autre en dehors du côté pratique. Merci !

[Barbidoux]

Il y aussi lorsque, lorsque  les termes de la suite sont définis  à partir d'une fonction, l'étude du sens de variation de la fonction associée. C'est le cas  l'exemple donné puisque u_n+1=(1/2)(u_n+a/u_n) =f(u_n). L'étude du signe de la dérivée f(x)=(1/2)*(x+a/x) que l'on utilise dans un raisonnement par récurrence pour comparer u_n+1 et u_n permet de démontrer que la suite est décroissante.