Congruences

[Laura Dubois]

Bonjour je bloque dans cet exercice. Montrer que 342 puissance 2011+ 695 puissance 2011 est divisible par 17

j'ai mis que 342 est congru à 2 modulo 17

mais je comprends pas Merci de votre aide 

[Barbidoux]

342 est congru à 2 modulo 17
342^4 est congru à 16 modulo 17
342^4 est congru à -1 modulo 17
 342^(4*502) est congru à 1 modulo 17
On en déduit que
342^(4*502)*342^(3)* est congru à 8 modulo 17
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695 est congru à 15 modulo 17=-2 modulo 17
695^2 est congru à 4 modulo 17
695^3 est congru à 9 modulo 17
695^4 est congru à -1 modulo 17
on en déduit que
695^(8) est congru à 1 modulo 17
695^(8*251) est congru à 1 modulo 17
695^(8*251)*695^(3) est congru à 9 modulo 17
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Conclusion
342^2011+695^2011=(8+9) modulo 17=0 modulo 17  donc divisible par 17

 

 

[Laura Dubois]

Merci