Arithmétique spe maths

[Laura Dubois]

Bonjour, élève de terminale s en spe maths j'aurais besoin d'aide concernant cet exercice:

1/ Calculer 3^2, 3^3,3^4 modulo 5

j'ai obtenue 

pour 3^2 c'est 4 modulo 5

pour 3^3 c'est 2 modulo 5

pour 3^3 2 modulo 5

2/ Calculer 3^n modulo 5

j'ai rien compris mais voila la correction:

on distingue 4 cas

si n est congru à 0 modulo 4 alors 3^n est congrus à 1 modulo 5

si n est congrus à 1 modulo 4 alors 3^n est congru à 3 modulo 5

si n est congru à 2 modulo 4 alors 3^n est congru à 4 modulo 5

si n est congrus à 3 modulo 4 alors 3^n est congrus à 2 modulo 5

J'ai pas compris le raisonnement pourquoi modulo 4?

est d'où sort tout cela

 

        Merci de votre aide

[Barbidoux]

3^0=1=1 mod [5]
3^1=3=3 mod [5]
3^2=9=4 mod [5]
3^3=27=2 mod [5]
3^4=81=1 mod [5]
3^5=243=3 mod [5]
Il s’en suit que si :
n=4*k alors 3^n=1 mod [5]
n=4*k+1 alors 3^n=3 mod [5]
n=4*k+2 alors 3^n=4 mod [5]
n=4*k+3 alors 3^n=2 mod [5]

[Laura Dubois]

Merci