Variation fonction réciproque

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Peut-on déduire algébriquement (c'est à dire autrement que graphiquement au cas par cas par symétrie des courbes par rapport à y=x) les variations d'une bijection à partir de celles de sa fonction réciproque ?

Si oui, pourriez-vous l'illustrer avec un exemple? Je cherche à étudier les variations de la fonction réciproque de sinus à partir des variations de sinus.

Merci d'avance  

Modifié le 22 juillet 2019 par C8H10N4O2

[pzorba75]

Tu peux prendre les variations des fonctions exponentielle et logarithme népérien pour illustrer ta démonstration.

[C8H10N4O2]

Il y a 12 heures, pzorba75 a dit :

Tu peux prendre les variations des fonctions exponentielle et logarithme népérien pour illustrer ta démonstration.

Cette remarque m'a rappelé la relation entre les dérivées de bijections réciproques. Si l'une est croissante, sa dérivée est positive, ce qui est donc le cas de celle de sa réciproque qui en est l'inverse. La bijection réciproque est donc aussi croissante

[pzorba75]

il y a 30 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Cette remarque m'a rappelé la relation entre les dérivées de bijections réciproques. Si l'une est croissante, sa dérivée est positive, ce qui est donc le cas de celle de sa réciproque qui en est l'inverse. La bijection réciproque est donc aussi croissante

Exact, mais il faut le démontrer, ce qui n'est plus au programme des lycées en France de nos jours.

La démonstration figure dans l'ouvrage Lespinard et Pernet Algèbre, Mathématiques élémentaires programme du 6 mars 1962, page 183

 et donne le théorème :

Si une fonction dérivable dans un intervalle admet une fonction réciproque, cette dernière est dérivable dans l'intervalle image du premier et les deux fonctions dérivées sont inverses.

[C8H10N4O2]

Oui la démonstration est assez simple dès lors que l'on maîtrise celle de la dérivée d'une fonction composée fog . On pose g=f^-1 et le tour est joué