Limite niveau 1ere

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Soit à déterminer la limite en l'infini positif de :

j'ai réussi à déterminer cette limite, en passant par l'expression conjuguée etc. Mais je bloque un peu sur les conditions à respecter sur x pour avoir  au dénominateur lors de cette manoeuvre. 

En effet l'expression sous la racine doit être positive , ça pas de problème on calcule les racines du polynôme et on donne une contrainte sur x. Mais l'expression dans son ensemble doit être différente de zéro, donc on résout : . Or pour que cette égalité ait un sens (et avant de passer les deux côtés au carré), on doit avoir  , ce que je trouve incompatible avec le fait qu'on se situe vers l'infini positif...

Bref je patauge un peu et me demande au final quelle condition indiquer pour permettre d'avoir  au dénominateur.

Si vous avez une petite idée sur la question, je suis preneur :)

Merci d'avance.

[Barbidoux]

J'aurais dit ...

[C8H10N4O2]

Merci Barbidoux !

La limite est bien celle que j'ai trouvé, mais je ne comprends pas comment on trouve que l'expression conjuguée est postitive pour x>1 ...

[Barbidoux]

Il suffit de remplacer x par 1 dans f(x)=√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3 pour voir que f(x)=√5-1>0. Vu son expression lorsque x>1 cette valeur augmente avec la valeur de x.

Maintenant, si l'on désire être totalement rigoureux on calcule la dérivé f'(x)=2+(8*x+2)/(2*√(4*x^2+2*x-1)) de f(x) qui est >0  pour toute valeur de x appartenant à la partie positive du domaine de définition de f(x). Comme f(1)=√5-1>0 on en déduit que f(x)>0  pour toute valeur x>1.

[C8H10N4O2]

Merci de votre explication qui recoupe celle de mon corrigé, mais en réalité je ne comprends toujours pas bien la partie entourée (voir pièce jointe )

[C8H10N4O2]

Je comprends qu'on doive se situer à l'extérieur des racines  et  pour que l'expression sous la racine soit positive. Mais d'une part pourquoi se limiter à x à droite de  ? Est-ce parce qu'on se situe dans l'étude de la limite en l'infini positif ? Et d'autre part lorsqu'on résout  , avant de passer les deux expressions au carré, ne doit-on pas au préalable s'assurer que le membre de droite soit positif? Et alors n'obtient-on pas comme condition  ce qui est problématique ?   

Enfin le corrigé aboutit à l'égalité  , pour immédiatement enchaîner en disant : " Donc pour  , etc. Et je ne vois pas du tout la logique de cette transition ! 

Bref, j'ai encore besoin d'aide

Ensuite sur le calcul de la limite à proprement parler, pas de problème, j'ai compris.

[Barbidoux]

Pour lever l’indétermination on multiplie l’expression √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3 par f(x)=√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3, faut il encore démonter que f(x) est bien définie et non nulle sur un intervalle [..., ∞[ que l'on doit préciser. 

Plusieurs approches sont utilisables pour arriver à ce résultat. 

On peut recherche le domaine de définition de √(4*x^2+2*x-1) puis le zéro de cette fonction, ce que fait ton livre. Dans ce cas il me semble  inutile de se placer droite de (√5-1)/4, il suffit de vérifier que la valeur qui annule la fonction f(x) n’appartient pas à un intervalle que l’on va définir pour effectuer l’opération de multiplication par f(x).

J’ai choisi une autre approche  qui consiste d’utiliser le signe de la dérivée de f(x) associé à une valeur (j’ai pris 1) de la fonction f(x) dans le domaine de définition de f(x) qui démontre que f(x)>0 pour tout x appartenant  [1, ∞[ f(x)>0 et donc que sur cet intervalle f(x) est bien définie et non nulle.

[C8H10N4O2]

Merci pour ces explications, je crois comprendre petit à petit.

Mais tout de même une question bête : pourquoi doit-on démontrer que l'expression conjuguée est bien définie sur un intervalle ouvert sur l'infini positif ?

 

Il y a 21 heures, Barbidoux a dit :

Il suffit de remplacer x par 1 dans f(x)=√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3 pour voir que f(x)=√5-1>0. Vu son expression lorsque x>1 cette valeur augmente avec la valeur de x.

Maintenant, si l'on désire être totalement rigoureux on calcule la dérivé f'(x)=2+(8*x+2)/(2*√(4*x^2+2*x-1)) de f(x) qui est >0  pour toute valeur de x appartenant à la partie positive du domaine de définition de f(x). Comme f(1)=√5-1>0 on en déduit que f(x)>0  pour toute valeur x>1.

J'ai du mal à comprendre tout cela...

[Barbidoux]

Comme je l'ai dit précédemment pour lever l’indétermination on multiplie (et divise)  l’expression √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3 par f(x)=√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3 ce qui ne peut se faire que si f(x) est définie et non nulle sur un intervalle [..., ∞[ ce que l'on doit vérifier.

f(x) est définie sur ]-∞,(-1-√5)/4] U [(-1+√5)/4 , ∞[ , sa dérivée a pour expression f'(x)=2+(8*x+2)/(2*√(4*x^2+2*x-1)) qui est >0 pour x≥(-1+√5)/4 ce qui montre que sur l'intervalle [(-1+√5)/4 , ∞[, f(x) est croissante. Comme f(1)=√5-1>0 on en déduit que f(x) est définie non nulle sur l'intervalle [(-1+√5)/4 , ∞[ et l'on peut donc multiplier sans aucune restriction  √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3 par 1=(√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3)/(√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3) et étudier la limite de l'expression obtenue lorsque x-> ∞ et qui est la même que celle de   √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3.

Autre méthode (celle de ton livre) : f(x) est définie sur ]-∞,(-1-√5)/4] U [(-1+√5)/4 , ∞[ en résolvant √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3=0 on montre qu'elle s'annule en une seule valeur qui est  x=5/7. En conséquence f(x) est définie non nulle sur l'intervalle ]5/7, ∞[ l'on peut donc multiplier sans aucune restriction  √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3 par (√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3)/(√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3) et étudier la limite de l'expression obtenue lorsque x-> ∞ et qui est la même que celle de   √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3.

[C8H10N4O2]

Il y a 14 heures, Barbidoux a dit :

Autre méthode (celle de ton livre) : f(x) est définie sur ]-∞,(-1-√5)/4] U [(-1+√5)/4 , ∞[ en résolvant √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3=0 on montre qu'elle s'annule en une seule valeur qui est  x=5/7. En conséquence f(x) est définie non nulle sur l'intervalle ]5/7, ∞[ l'on peut donc multiplier sans aucune restriction  √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3 par (√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3)/(√(4*x^2+2*x-1)+2*x-3) et étudier la limite de l'expression obtenue lorsque x-> ∞ et qui est la même que celle de   √(4*x^2+2*x-1)-2*x+3.

D'accord, et si l'explication du livre prend  pour intervalle d'étude, et non  , c'est uniquement par commodité puisque  et   ?

[Barbidoux]

Je pense que oui, car sur cet intervalle on est sur que f(x) est définie et non nulle.

[C8H10N4O2]

Très bien , merci beaucoup pour toutes ces précisions

[Barbidoux]

Pas de quoi, bonne continuation.