Équations différentielles / transformées de La Place

[Chaka]

Bonsoir, 

Je peine sur mon devoir de SI a partir de la question 3... 

Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance 

[julesx]

Pourquoi as-tu posté dans "Sciences" ? C'est plutôt des maths, non, même si  Laplace est plus souvent utilisé en Physique ?

Cela dit, pour la question 3), il faut décomposer chaque transformée en éléments simples et utiliser la table des transformées usuelles pour retrouver les fonctions du temps correspondantes. Bon, les calculs sont un peu "bourrins", mais, en principe, ça peut se faire avec une logiciel ou une calculette travaillant en calcul formel.

A titre d'exemple

Y(p)=5/(24p²+11p³+p^4)

se décompose en

-1/[64*(p+8)]+1/[9*(p+3)]-55/(576*p)+5/(24*p²)

dont les originaux sont

-e^-8t/64+e^-3t/9-55/576+5t/24

à multiplier par U(t) (fonction échelon unité ou de Heaviside)  si vous utilisez cette façon d'écrire les transformées inverses.

N.B.1 : J'ai "passé l'age" de faire ce genre de calcul à la main, Maxima , Xcas ou autres sont mes amis.

N.B.2 : Pour ce soir ce sera tout. Si, demain, II.2 est encore d'actualité et que personne n'a pris le relais, je reviendrai te voir.

 

[julesx]

Je vois que, de temps en temps, tu fais un tour sur le site. Dans quel but ? Tu as résolu tous les exercices que tu as postés ? Dans ce cas, je serais ravi que tu éclaires ma lanterne. Dans l'exercice II.2, je suis confronté à quelque chose que je ne m'explique pas, probablement par manque de connaissances pointues sur le sujet :

La réponse y(t) que j'obtiens vérifie bien y(0)=-2 mais pas y'(0)=3, bien que j'ai intégré ces éléments dans les transformées de Laplace de y''(t) et de y'(t). Pour info, j'obtiens y'(0)=10/3. Si tu peux m'expliquer ?

Je sais que ce n'est pas le rôle des intervenants de procéder ainsi, on est là pour aider, pas pour demander de l'aide, mais, pour une fois... 

[Chaka]

Je suis actuellement en prépa MPSI et je peine plutôt pas mal c'est pour ça que je viens régulièrement sur le site pour obtenir de l'aide 

Par la même occasion j'essaye d'aider les lycéens/collégiens qui rencontre des difficultés 

Je ne capte pas tout avec les transformées de La Place... Je demanderais une correction à mon professeur malgré qu'il ne soit pas très pédagogue 

Je te tiens au courant de l'explication 

[julesx]

Pour info, voilà ma démarche.

On part de

3y''+18y'+24y=δ avec comme conditions initiales y(0)=-2 et y'(0)=3

On prend la transformée de Laplace de chaque terme de l'équation, compte tenu des conditions initiales (voir éventuellement cours ou la toile)

y" => p²*Y-p*(-2)-3

y' => p*Y-(-2)

y => Y

 δ => 1

d'où

3*(p²*Y+2*p-3)+18*(p*Y+2)+24*Y=1

ce qui donne

Y=-1/3*(6*p+27)/(p²+6p+8)=-1/3*(6*p+26)/[(p+2)*(p+4)]

dont la décomposition en éléments simples est

Y=1/3*[1/p+4)-7/(p+2)]

On prend la transformée inverse

y(t)=1/3*(e^-4*t-7*e^-2*t)

Et c'est là qu'apparait le problème !

On a bien y(0)=1/3*(1-7)=-2

Par contre, comme y'(t)=1/3*(-4*e^-4*t+14*e^-2*t), on a y'(0)=1/3*(-4+14)=10/3

alors qu'on part de y'(0)=3.

A noter que, dans les mêmes conditions, sauf avec un second membre nul à la place de δ, on obtient tous calculs faits

y(t)=1/2*(e^-4*t-5*e^-2*t)

où on retrouve bien les bonnes conditions initiales.