Suites TS

[mathou221059]

Bonjour, j’ai un dm à rendre pour la rentrée, et je bloque sur une question, pouvez vous m’aider s’il vous plaît ? C’est un type bac mais cette question ne figure pas dans l’énoncé

 

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine.
Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :
• soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type S » ;
• soit malade (atteint par le virus) ;
• soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).
Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.
Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :
• Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 :
85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;
• Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 :
65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés.
• Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1.
On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

S_n : « l’individu est de type S en semaine n » ;
M_n : « l’individu est malade en semaine n » ;
I_n : « l’individu est immunisé en semaine n ».

En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes : 

P(S₀) = 1 ; P(M₀) = 0 ; P(I₀) = 0

 

PARTIE A

On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1) Faire un arbre de probabilité 

2) Montrer que P(I₂) = 0,2025

3) Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?

PARTIE B

On étudie dans cette partie l’évolution à long terme de l’épidémie.
Pour tout entier naturel n, on note u_n = P(S_n) , v_n = P(M_n) et w_n = P(I_n) les probabilités respectives des événements S_n, M_n et I_n.
1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : u_n + v_n + w_n = 1.

2. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a v_n+1 = 0,05 u_n + 0,65 v_n

 

J’ai déjà résolu la partie A, je n’arrive pas a faire la question 2 de la partie B, pouvez vous m’aider s’il vous plaît ?

[Barbidoux]

3 état possible pour un individu S,M ou I donc quelque soit la semaine considérée on aura P(S)+P(M)+P(I)=1 soit U_n+V_n+W_n=1

Pour la 2 il suffit de lire l’arbre de probabilité 

P(S_n+1)=0.85*P(S_n)

P(M_n+1)=0.05*P(S_n)+0.65*P(M_n)

P(I_n+1)=0.1*P(S_n)+1.35*P(I_n)

 

[mathou221059]

Il y a 5 heures, Barbidoux a dit :

3 état possible pour un individu S,M ou I donc quelque soit la semaine considérée on aura P(S)+P(M)+P(I)=1 soit U_n+V_n+W_n=1

Pour la 2 il suffit de lire l’arbre de probabilité 

P(S_n+1)=0.85*P(S_n)

P(M_n+1)=0.05*P(S_n)+0.65*P(M_n)

P(I_n+1)=0.1*P(S_n)+1.35*P(I_n)

 

Pour la 2, il ne faut pas démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence ?

[Barbidoux]

Il suffit d'établir l'arbre de probabilité  qui relie les probabilités de la semaines de rang n+1 aux probabilités de la semaine de rang n.

On aurait pu aussi établir un graphe probabiliste

et sa matrice de transition associée. 

{P(M_n+1), P(S_n+1),P(I_n+1)}={{ 0.65, 0.05, 0},{ 0,0.85,0} {0.35,0.1,1}} {P(M_n), P(S_n),P(I_n)}

dans mon précédent message il fallait lire P(I_n+1)=0.35*P(M_n)+0.1*P(S_n)+1.00*P(I_n)

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

En complément, c'est une annale de bac dont le corrigé est disponible sur l'APMEP : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige_S_Metropole_21_juin_2017_AD.pdf