Limites

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous! 

J'ai besoin de vos lumières à propos de la question suivante : pourquoi lorsque h->0, considère-t-on que Lim h/h = Lim 1 = 1 (par exemple lors de l'étude de la dérivabilité de |x| en zéro) , alors que lorsque x->a , Lim A(x)/B(x) est une forme indéterminée 0/0 si les fonctions A et B tendent toutes deux vers 0 lorsque x tend vers a ?

Dans les deux cas on a un rapport 0/0 , non ? 

Qu'en pensez vous? 

[Barbidoux]

Dans la cas de la limite de deux fonctions qui tendent vers 0 de manière identique la limite de leur rapport tend vers 1 car quelques soit la valeur de la variable le rapport des ces deux fonction vaut bien 1. Dans le cas où les deux fonctions tendent vers 0 sans plus de renseignement on ne peut pas évaluer le rapport A(x)/B(x) puisque que le rapport de deux infiniment petits peut être un infiniment grand. On a donc une forme indéterminé et il est nécessaire de lever cette indétermination pour conclure (cas de la limite de sin(x)/x lorsque x->0 par exemple).

[C8H10N4O2]

D'accord, donc si je comprends bien, dans le premier cas, numérateur et dénominateur ont à chaque instant même valeur, tandis que dans le second, on ne sait pas si les fonctions tendent vers zéro à la même vitesse, ce qui peut donner des résultats très différents.

D'où l'intérêt de déterminer l'ordre des infiniments petits de ces fonctions au voisinage de la valeur en question...

[Barbidoux]

C'est cela. D'où l'intérêt de connaitre les développements limités des fonctions usuelles au voisinage de 0. Voir là par exemple www.h-k.fr/publications/data/adc.ps__annexes.maths.pdf

[C8H10N4O2]

Oui effectivement c'est bien ce que j'avais en tête...

Merci beaucoup pour ces explications.

Une petite question subsidiaire qui ne vaut pas l'ouverture d'un sujet à part : je m'intéresse à la démonstration de la dérivée de x^n.

J'ai trouvé une proposition où on commence par montrer que (x^n)' = n.x^(n-1) est vrai pour n égal à zéro et x un réel quelconque.

Dans l'expression entourée de rouge en PJ, le x^(0-1) ne pose-t-il pas problème si x est nul ?

 

[Barbidoux]

non car tout nombre multiplié par 0 est nul.

x^(-1)=1/x est indéfini c'est à dire qu'il peut prendre n'importe qu'elle valeur ce qui n'a aucune importance car multiplié par 0  le produit sera toujours égal à 0.

[C8H10N4O2]

Je pensais que 0* 1/0  posait quand même problème du fait de la division par 0 et qu'on devait dès lors restreindre x à R* ...