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C8H10N4O2

convergence de suite

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Bonjour à tous!

Ma question est de savoir comment faire pour démontrer la convergence vers 0 d'une suite géométrique de raison q telle que : -1<q<1

J'arrive à montrer la convergence pour 0<q<1, par exemple avec Uo positif, on a 0< Uo.q^n < epsilon pour n> ln(epsilon/ Uo) / ln (q).

Idem mutatis mutandis pour Uo négatif.

Mais voilà, pour -1<q<0 , le signe de q interdit l'emploi du logarithme, donc je bloque...

Merci d'avance pour votre aide !

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J’aurais dit que lorsque -1<q<0 la suite géométrique Un de raison q est une suite alternée. Si u0>0 /(<0), Un est la somme d’une suite croissante /(décroissante) U2k+1=U0 q2k+1<0 majorée / (minorée) par 0, et d'une somme décroissante/ (croissante) U2k=U0 q2k minorée/ (majorée) par 0. Il est alors facile de monter que limite de lorsque k -> ∞ alors limk->∞ u2k+1-u2k= 0 ce qui fait que ces suites convergentes qui sont adjacentes, admettent la même limite qui vaut 0. Comme limk->∞ Un=lim U2k+1+ lim U2k cela démontre que  lorsque -1<q<0 alors lim Un=0. Mais il ya peut être plus simple....

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Il y a 4 heures, Barbidoux a dit :

Mais il ya peut être plus simple....

Ahah j'espère parce que j'avoue ne pas avoir tout suivi...:D

Je réessayerai à tête reposée, merci Barbidoux

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Bon je détaille un peu ….

soit Un une suite géométrique de raison  -1<q<0 et de premier terme U0. On étudie le cas où U0>0. Le terme général de la suite s’écrit Un=U0*qn=U0*(-1)n*|q|n. Les termes de rang pairs sont tous positifs et ceux de rang impairs négatifs donc Un peut  décomposer Un en deux suites U2*k=U0*|q|n>0 et U2k+1=-U0*|q|n<0. La première suite U2*k est décroissante car |q|<1 tous ses termes sont >0 elle est donc bornée par 0. La seconde U2k+1 est croissante car |q|<1 ==> -qn<-qn+1. Elle est bornée par 0. 

Si l’on s’intéresse à différence de deux terme consécutifs de la suite Un alors on peut écrire que |Un+1-un|=|U2*k-U2*k+1|=U0*|q|n*|q-1|. Lorsque n->∞ alors |Un+1-Un|->0 ce qui montre que les suites  U2*k et U2*k+1 ont même limites. Elles sont adjacentes. 

La limite de U2*k étant égale à 0 il est est de même pour la suite U2k+1 et donc la suite Un.

On arriverait aux mêmes conclusions dans le cas où U0<0 (la suite U2*k   serait négative croissante et la suite U2*k+1 serait positive décroissante).

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Je comprends beaucoup mieux, très astucieux comme raisonnement d'utiliser ainsi la valeur absolue...

Merci Barbidoux, cela répond parfaitement à cette question qui me perturbait !

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