convergence de suite

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous!

Ma question est de savoir comment faire pour démontrer la convergence vers 0 d'une suite géométrique de raison q telle que : -1<q<1

J'arrive à montrer la convergence pour 0<q<1, par exemple avec Uo positif, on a 0< Uo.q^n < epsilon pour n> ln(epsilon/ Uo) / ln (q).

Idem mutatis mutandis pour Uo négatif.

Mais voilà, pour -1<q<0 , le signe de q interdit l'emploi du logarithme, donc je bloque...

Merci d'avance pour votre aide !

[Barbidoux]

J’aurais dit que lorsque -1<q<0 la suite géométrique U_n de raison q est une suite alternée. Si u0>0 /(<0), U_n est la somme d’une suite croissante /(décroissante) U_2k+1=U₀ q^2k+1<0 majorée / (minorée) par 0, et d'une somme décroissante/ (croissante) U_2k=U₀ q^2k minorée/ (majorée) par 0. Il est alors facile de monter que limite de lorsque k -> ∞ alors lim_k->∞ u_2k+1-u_2k= 0 ce qui fait que ces suites convergentes qui sont adjacentes, admettent la même limite qui vaut 0. Comme lim_k->∞ U_n=lim U_2k+1+ lim U_2k cela démontre que  lorsque -1<q<0 alors lim U_n=0. Mais il ya peut être plus simple....

[C8H10N4O2]

Il y a 4 heures, Barbidoux a dit :

Mais il ya peut être plus simple....

Ahah j'espère parce que j'avoue ne pas avoir tout suivi...

Je réessayerai à tête reposée, merci Barbidoux

[Barbidoux]

Bon je détaille un peu ….

soit Un une suite géométrique de raison  -1<q<0 et de premier terme U₀. On étudie le cas où U₀>0. Le terme général de la suite s’écrit U_n=U₀*qⁿ=U₀*(-1)ⁿ*|q|ⁿ. Les termes de rang pairs sont tous positifs et ceux de rang impairs négatifs donc Un peut  décomposer U_n en deux suites U_2*k=U₀*|q|ⁿ>0 et U_2k+1=-U₀*|q|ⁿ<0. La première suite U_2*k est décroissante car |q|<1 tous ses termes sont >0 elle est donc bornée par 0. La seconde U_2k+1 est croissante car |q|<1 ==> -qⁿ<-qⁿ⁺¹. Elle est bornée par 0. 

Si l’on s’intéresse à différence de deux terme consécutifs de la suite U_n alors on peut écrire que |U_n+1-u_n|=|U_2*k-U_2*k+1|=U₀*|q|ⁿ*|q-1|. Lorsque n->∞ alors |U_n+1-U_n|->0 ce qui montre que les suites  U_2*k et U_2*k+1 ont même limites. Elles sont adjacentes. 

La limite de U_2*k étant égale à 0 il est est de même pour la suite U_2k+1 et donc la suite U_n.

On arriverait aux mêmes conclusions dans le cas où U0<0 (la suite U_2*k   serait négative croissante et la suite U_2*k+1 serait positive décroissante).

[C8H10N4O2]

Je comprends beaucoup mieux, très astucieux comme raisonnement d'utiliser ainsi la valeur absolue...

Merci Barbidoux, cela répond parfaitement à cette question qui me perturbait !