exponentiel

[sarah nounette]

Exercice 3 (6 points)

On rappelle l’inégalité :

► pour tout réel x, e^x ≥1+x

et on admet que, pour tout n de N∗ :

► 1²+2²+...+(n(n+1)(2n+1))/6

On pose pour tout n de N∗ : U_n=exp(0²/n)+exp(1²/n)+exp(2²/n)+...+exp(n²/n) et V_n=U_n/n
 

1. Montrer que, pour tout n de N, U_n ≥n+1  En déduire que :lim→+∞U_n=+∞
2. Montrer que, pour tout n de N, V_n≥ (1/n²)(1²+2²+.....+n²) puis que V_n≥(2n+1)/6
3. On considère l’algorithme suivant.

Variables : 

i et n sont des entiers naturels.

u est un réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n.

Initialisation :  Affecter à u la valeur 0.

Traitement :  Pour i variant de 0 à n.

Affecter à u la valeur u+exp(i²/n)

Fin de la boucle Pour

Sortie :  Afficher u.
a) Donner une valeur approchée de la valeur affichée par cet algorithme lorsque n = 3.

b) Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de v n lorsque l’utilisateur entre la valeur de n.
4. a) Justifier qu’il existe un entier naturel n₀  tel que pour tout n≥n₀ on ait V_n≥10³
b) À l’aide de l’inégalité (*), trouver un entier n₁  tel que pour tout n≥n₁ on ait V_n≥ 10³

c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On admet que la suite (V_n) est croissante. Trouver le plus petit entier n₂ tel que pour tout n≥n₂ on ait V_n≥10³
 

j ai deja fait la question 3 mais je suis bloquer pour le reste est ce que quelqu'un peut m aider

[Barbidoux]

1---------------------
exp(0/n)>1
exp(1^2/n)>1+1^2/n
exp(2^2/n)>1+2^2/n
…………
exp(n^2/n)≥1+n^2/n
---------------------
un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n=n+1+(n+1)*(2*n+1)/6≥ n+1
puisque un≥n+1 ==> un->∞ lorsque n-> ∞
2---------------------
Puisque
un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n
et que n>0 on en déduit que
un≥(1^2/+2^2/n…..n^2)/n
et donc vn=un/n≥ (1^2/+2^2/n…..n^2)/n^2=(n+1)*(2*n+1)/(6*n) >(2*n+1)/6
3---------------
pour n=3
u3=exp(0/3)+exp(1^2/3)+exp(2^/3)+exp(3^2/3)=26.27481
modification de l'algorithme

4.a------------------
On a démontré que vn>(n+1)*(2*n+1)/6 il suffit donc de prendre n tel que (n+1)*(2*n+1)/6>1000. L'équation du second degré (n+1)*(2*n+1)/6-1000 admet deux racines n=-55.52 et 54.02 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines et il existe donc bien un naturel tel que vn>(n+1)*(2*n+1)/6>10^(3)
4.b------------------
On a démontré que vn≥(2*n+1)/6 si (2*n+1)/6>1000 ==> n≥3000 alors pour tout  n≥ 3000 on a bien vn>1000
4c------------------
J'utiliserais pour cette question l'algorithme précédent modifié comme suit :