sarah nounette Posté(e) le 20 mai 2018 Signaler Share Posté(e) le 20 mai 2018 Exercice 3 (6 points) On rappelle l’inégalité : ► pour tout réel x, ex ≥1+x et on admet que, pour tout n de N∗ : ► 12+22+...+(n(n+1)(2n+1))/6 On pose pour tout n de N∗ : Un=exp(02/n)+exp(12/n)+exp(22/n)+...+exp(n2/n) et Vn=Un/n 1. Montrer que, pour tout n de N, Un ≥n+1 En déduire que :lim→+∞Un=+∞ 2. Montrer que, pour tout n de N, Vn≥ (1/n2)(12+22+.....+n2) puis que Vn≥(2n+1)/6 3. On considère l’algorithme suivant. Variables : i et n sont des entiers naturels. u est un réel. Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à u la valeur 0. Traitement : Pour i variant de 0 à n. Affecter à u la valeur u+exp(i2/n) Fin de la boucle Pour Sortie : Afficher u. a) Donner une valeur approchée de la valeur affichée par cet algorithme lorsque n = 3. b) Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de v n lorsque l’utilisateur entre la valeur de n. 4. a) Justifier qu’il existe un entier naturel n0 tel que pour tout n≥n0 on ait Vn≥103 b) À l’aide de l’inégalité (*), trouver un entier n1 tel que pour tout n≥n1 on ait Vn≥ 103 c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On admet que la suite (Vn) est croissante. Trouver le plus petit entier n2 tel que pour tout n≥n2 on ait Vn≥103 j ai deja fait la question 3 mais je suis bloquer pour le reste est ce que quelqu'un peut m aider Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 20 mai 2018 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 20 mai 2018 1--------------------- exp(0/n)>1 exp(1^2/n)>1+1^2/n exp(2^2/n)>1+2^2/n ………… exp(n^2/n)≥1+n^2/n --------------------- un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n=n+1+(n+1)*(2*n+1)/6≥ n+1 puisque un≥n+1 ==> un->∞ lorsque n-> ∞ 2--------------------- Puisque un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n et que n>0 on en déduit que un≥(1^2/+2^2/n…..n^2)/n et donc vn=un/n≥ (1^2/+2^2/n…..n^2)/n^2=(n+1)*(2*n+1)/(6*n) >(2*n+1)/6 3--------------- pour n=3 u3=exp(0/3)+exp(1^2/3)+exp(2^/3)+exp(3^2/3)=26.27481 modification de l'algorithme 4.a------------------ On a démontré que vn>(n+1)*(2*n+1)/6 il suffit donc de prendre n tel que (n+1)*(2*n+1)/6>1000. L'équation du second degré (n+1)*(2*n+1)/6-1000 admet deux racines n=-55.52 et 54.02 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines et il existe donc bien un naturel tel que vn>(n+1)*(2*n+1)/6>10^(3) 4.b------------------ On a démontré que vn≥(2*n+1)/6 si (2*n+1)/6>1000 ==> n≥3000 alors pour tout n≥ 3000 on a bien vn>1000 4c------------------ J'utiliserais pour cette question l'algorithme précédent modifié comme suit : Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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