Fonction et dérivé

[theoreme12]

Bonjour j'ai fais cet exercice cependant je ne sais as si mes réponses sont correctes..

On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=(ax+b)e^x-1+c ou a,b et c sont trois réels que l'on se propose de déterminer. La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal est tracée ci-dessous ( voir photo) . Elle passe par le point A(1;5) et la droite D est sa tangente en ce point. Le point B(0;2) appartient à la droite D. La courbe C admet également une tangente horizontale au point C  d'abscisse - 1/2

1) Préciser les valeurs de f(1) et f'(- 1/2)

2) Déterminer le coefficient directeur de la droite. En déduire f'(1)

3)Montrer que, pour tout réel x, f'(x)=(ax+a+b)e^x-1

4)Montrer que a,b et c vérifient le système : a+b+c= 5

                                                                      a+2b=0

                                                                      2a+b=3

5) Déterminer a et b en résolvant le système formé par les deux dernières équations 

6)En déduire le réel c, puis l'expression de la fonction f. 

On admet dans la suite de l'exercice que,pour tout réel x: f(x)= (2x-1)e^x-1+4

1)Etudier le sens de variation de f sur R

2)Déterminer le signe de f(x) pour tout réel x.

3)Montrer que l'équation f(x)=6 admet une unique solution réelle alpha sur l'intervalle [1 ; 2]  et donner un encadrement de alpha d'amplitude 0,1

Ou j'en suis

1) On a f(1)=5 et f'( - 1/2)=0

2)On a, en notant alpha le coefficient directeur: alpha= y_b-y_a / x_b-x_a= 2-5/0-1=3

Donc f'(1)=3

3) f'(x)= ae^x-1+(ax+b)e^x-1=(ax+a+b)e^x-1

4) On a f(1)=5 donc (a+b)e^1-1+c=5 soit a+b+c=5

On a f'( - 1/2)=0 donc ( - a/2+a+b)e^-1/2-1 =0 soit 1/2a+b=0, sachant que e^{- 3/2} différent de 0, e qui donne a+2b=0

On a f'(1)=3 donc (a+a+b)e⁰ =3 soit 2a+b=3

Ce qui donne le systéme a+b+c=5                   Ce qui se résout a=2

                                        a+2b=0                                               b=-1

                                        2a+b=3                                               c=4

1) Voir photo car je l'ai fait sur ordinateur 

2)Le signe de la dérivée est donné par le signe de (2x+1).On a f(- 1/2)=-2e^-3/2+4 environ 3,55

3)On utilise la calculatrice, et on trouve 1,2<alpha <1,3

Merci

 

 

 

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[PAVE]

Bonsoir, 

On a un peu du mal à s'y retrouver  car on ne sait pas si on traite la partie I (ou A ?) ou la partie II (ou B ) de ton devoir....

Tu écris : 

"Ou j'en suis

1) On a f(1)=5 et f'( - 1/2)=0"

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 13 minutes, theoreme12 a dit :

Bonjour j'ai fais cet exercice cependant je ne sais as si mes réponses sont correctes..

On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=(ax+b)e^x-1+c ou a,b et c sont trois réels que l'on se propose de déterminer. La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal est tracée ci-dessous ( voir photo) . Elle passe par le point A(1;5) et la droite D est sa tangente en ce point. Le point B(0;2) appartient à la droite D. La courbe C admet également une tangente horizontale au point C  d'abscisse - 1/2

1) Préciser les valeurs de f(1) et f'(- 1/2)

2) Déterminer le coefficient directeur de la droite. En déduire f'(1)

3)Montrer que, pour tout réel x, f'(x)=(ax+a+b)e^x-1

4)Montrer que a,b et c vérifient le système : a+b+c= 5

                                                                      a+2b=0

                                                                      2a+b=3

5) Déterminer a et b en résolvant le système formé par les deux dernières équations 

6)En déduire le réel c, puis l'expression de la fonction f. 

On admet dans la suite de l'exercice que,pour tout réel x: f(x)= (2x-1)e^x-1+4

1)Etudier le sens de variation de f sur R

2)Déterminer le signe de f(x) pour tout réel x.

3)Montrer que l'équation f(x)=6 admet une unique solution réelle alpha sur l'intervalle [1 ; 2]  et donner un encadrement de alpha d'amplitude 0,1

Ou j'en suis

1) On a f(1)=5 et f'( - 1/2)=0

Juste mais à justifier.

2)On a, en notant alpha le coefficient directeur: alpha= y_b-y_a / x_b-x_a= 2-5/0-1=3

Donc f'(1)=3

Attention aux parenthèses. Juste mais à justifier.

3) f'(x)= ae^x-1+(ax+b)e^x-1=(ax+a+b)e^x-1

Juste.

4) On a f(1)=5 donc (a+b)e^1-1+c=5 soit a+b+c=5 Juste.

On a f'( - 1/2)=0 donc ( - a/2+a+b)e^-1/2-1 =0 soit 1/2a+b=0, sachant que e^{- 3/2} différent de 0, e qui donne a+2b=0 Juste.

On a f'(1)=3 donc (a+a+b)e⁰ =3 soit 2a+b=3 Juste.

Ce qui donne le systéme a+b+c=5                   Ce qui se résout a=2

                                        a+2b=0                                               b=-1

                                        2a+b=3                                               c=4

A détailler.

1) Voir photo car je l'ai fait sur ordinateur Juste mais à rédiger (limites, images, etude du signe de f'...).

2)Le signe de la dérivée est donné par le signe de (2x+1) (HS).On a f(- 1/2)=-2e^-3/2+4 environ 3,55 (mieux mais développe ton raisonnement).

3)On utilise la calculatrice, et on trouve 1,2<alpha <1,3

Et tu dois me montrer avec le corollaire du TVI !!!

Merci