Les Suites (limite)

[Ch00Ch00]

Bonsoir,

J'ai besoin de votre aide, pourriez vous me donner des indices s'il vous plait, Merci,

1. La suite (un)n∈N dénie par un = sin(nπ/2) est-elle convergente?

2. Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Démontrer votre résultat.

(a) Une suite monotone et bornée converge.

(b) Une suite positive et strictement décroissante converge vers 0.

(c) Comme lim n→+∞ 1/n alors lim n→+∞ 1 + (1/n)^n = 1.

3. Soient (un)n∈N? et (vn)n∈N? deux suites définies par
un =1/2 −2/n et vn =1/2 + 2/n
Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont adjacentes et calculer leur limites communes.

Je ne vois pas comment montrer que ces suites sont adjacentes. Leur limites commune est 1/2 car 1/n est une limite de référence donc égale à 0.

 

Merci d'avance, 

 

[pzorba75]

1. La suite (un)n∈N dénie par un = sin(nπ/2) est-elle convergente?

Comment varie la fonction sin, entre quelles limites?

 

3. Soient (un)n∈N? et (vn)n∈N? deux suites définies par
un =1/2 −2/n et vn =1/2 + 2/n
Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont adjacentes et calculer leur limites communes.

Théorème des suites adjacentes — Soient (a_n) et (b_n) deux suites adjacentes (où (a_n) est croissante et (b_n) décroissante). Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite ℓ ∈ ℝ. De plus, pour tout entier naturel n, a_n ≤ ℓ ≤ b_n.

Cette définition et les propriétés ne sont plus au programme en TS en France depuis 2012.

[Barbidoux]

3. Soient (un)n∈N? et (vn)n∈N? deux suites définies par
un =1/2 −2/n et vn =1/2 + 2/n
Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont adjacentes et calculer leur limites communes.
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u_n est croissante car u_n+1-u_n>0, vn est décroissante car v_n+1-v_n<0  et comme lim(v_n-u_n)=0 elles sont adjacentes