[TS] Convergence d'une suite

[seb088]

Bonjour à tous !

Je dois étudier la convergence de la suite de terme général un = sin(*(1+3)^n)

Le souci, c'est que je ne sais absolument pas par où commencer. Quelqu'un aurait-il des idées à me proposer ?

Merci d'avance !

[Barbidoux]

Suite d'évidence non convergente puisque (1+3)^n ne converge pas. L'expression de cette suite me semble curieuse. Tu es sur de son expression ?

[seb088]

J'ai calculé les premiers termes (avec ma calculatrice). La suite converge très vite vers 0, mais je ne sais pas le démontrer. 

[Barbidoux]

Il faut se méfier des calculs des premiers termes d'une suite. Je t'ai dit que la suite d'évidence non convergente puisque (1+3)^n ne converge pas.

Je ne sais pas ce que tu as calculé avec ta calculatrice mai voici comment se répartissent les 100 premiers termes de ta suite :

et il me semble difficile de dire qu'elle converge vers 0

 

[seb088]

D'accord, merci beaucoup !

Dans ce cas comment faire pour montrer que la suite diverge ? 

[Barbidoux]

Le terme π*(1+√3)^n dont tu prend le sinus ne convergeant pas, la suite un=sin( π*(1+√3)^n) n'a pas de limite. Elle est divergente.

[seb088]

Cela ne prouve rien, la suite 2n diverge et pourtant sin(2n) converge vers 0...

[Barbidoux]

il y a 20 minutes, seb088 a dit :

Cela ne prouve rien, la suite 2n diverge et pourtant sin(2n) converge vers 0...

un=sin(2π*n) n'est pas une suite qui  converge vers 0 mais c'est une suite constante égale à 0

 

[seb088]

Elle est a fortiori convergente, de limite 0. 

Sinon la suite sin (2n +1/n)  n'est pas stationnaire, converge vers 0 et 2n +1/n diverge toujours... 

[Barbidoux]

 

il y a une heure, seb088 a dit :

Elle est a fortiori convergente, de limite 0. 

Sinon la suite sin (2n +1/n)  n'est pas stationnaire, converge vers 0 et 2n +1/n diverge toujours... 

un=sin (2n +1/n)=sin(1/n). L'angle principal sur lequel porte l'opérateur sinus converge vers une limite finie donc la suite converge vers une limite finie.

[seb088]

 

il y a 2 minutes, Barbidoux a dit :

 

un=sin (2n +1/n)=sin(1/n). L'angle principal sur lequel porte l'opérateur sinus converge vers une limite finie donc la suite converge vers une limite finie.

Rien ne permet d'affirmer que ce n'est pas le cas pour l'autre suite. 

[Barbidoux]

Effectivement j'ai raconté pas mal de bêtises en raison d'instabilités numériques dues au calcul de (1+√3)^n à partir d'une certain rang.

Il faut savoir parfois se méfier des calculs numériques ….

En fait si l'on se donne la peine de faire une démo propre on démontre que la suite converge vers 0. Il faut pour cela utiliser la formule du binôme et développer (1+√3)^n en isolant les termes en √3, pour obtenir au final les valeurs de l'angle principal qui correspond à π*(1+√3)^n.

Donc en utilisant la formule du binôme on obtient :
(1+√3)^n =An+Bn*√3 (ou An et Bn sont des entiers). On démontre de même que (1-√3)^n=An-Bn*√3
il s'en suit que
(1+√3)^n + (1-√3)^n=2*An ==> (1+√3)^n =2*An-(1-√3)^n
et donc puisque 2*An est un nombre pair
sin(π*(1+√3)^n)=sin(π(2*An-(1-√3)^n))=sin(π*(1-√3)^n))
Comme 0<|1-√3|<1 lorsque n->∞ alors (1-√3)^n->0 et
Lim un=sin(π*(1-√3)^n)) = lim (π*(1-√3)^n)=0

 

[pzorba75]

Voilà une belle démonstration, à mon avis bien au-delà des connaissances compétences d'un élève de TS avec les programmes actuels.

[seb088]

En effet je n'ai rien compris. :/

merci quand même.