Racine n-ième

[Ch00Ch00]

Bonjour à tous,

J'ai des exercices à faire pour demain, mais je suis bloqué voir je n'ai aucune idée pour les résoudre. 
Je vous remercie d'avance pour vos aides, je joins une photo de l'énoncé de mes exercice

s. 

L'exercice 1: 

1) J'utilise le discriminant dans le plan complexe.

b^2 - 4ac = (-2cos(O))^2 - 4 * 1 *1 = 4cos^2(O) - 4

Pourriez vous me dire si le discriminant est bon ? Merci,

2) Je ne sais pas

Exercice 2:

1) Pour la première, je n'ai pas compris l'énoncé.

2) On a j= e^i2π/3 

^f Le conjugué de j = e^-i2π/3 = e^4π/3

j^2 = ( e^i2π/3 )^2 = e^4π/3

On a donc bien le conjugué de j = j^2.

Je n'arrive pas à vérifier que 1 + j + j^2 = 0

e^0 + e^{4π/3 +} e^4π/3

3) Je sais comment faire, mais je suis juste pour la racine n-ième.

z^n = z <=> Iz^nI = I z I

                    arg(z^n) = arg(z) + 2kπ, k appartenant à Z 

z^3 = 8

I 8 I = 8 

8e^iO

Je suis bloqué pour l'exponentielle 8e^0 revient à 8. 

Merci pour vos aides, 

 

Pourriez vous m'aider, en me donnant plus d'explications et ce que je devrais faire.
Merci beaucoup, 

 

 

[Ch00Ch00]

Bonjour, 

Pourriez vous me dire sic'est juste ou pas. Merci d'avance, 

J'ai réussi pour 1+j+j^2 = 0 

Mais pour les autres questions, je n'arrive pas à trouver la solution. Merci, 

 

[Ch00Ch00]

Veuillez m'excuser, est-ce qu'un modérateur/administrateur pourrait supprimer ce post, s'il vous plait. Je vais re posté, en plus clair mes exercices.

Veuillez m'excuser pour la gêne occasionné.  

[pzorba75]

4cos²(theta)-4=4(cos²(theta)-1)=-4sin²(theta)=(i*sin(theta))².

[Barbidoux]

Salut Zorba

1------------
Racines x=cos(a)-i*sin(a)=exp(-i*a) et x=cos(a)+i*sin(a)=exp(i*a)
on pose x^n=y
x^n=exp(-i*a+2*k*π) ==> solutions {(-i*a+2*k*π)/n }
x^n=exp(i*a+2*k*π) ==> solutions {(i*a+2*k*π)/n }
2.1-----------
z^3=1=exp(2*k*π*i)
solution  z  sont exp(2*k*π*i/3) avec k=0,1,2 soit {1,exp(2*π*i/3), exp(4*π*i/3)}
2.2-----------
j=exp(2*π*i/3) ==> j^2=exp(4*π*i/3)
Jbarre=exp(-2*π*i/3)=exp(2*π*i-2*π*i/3)=exp(4*π*i/3)=j^2
--------
1+j+j^2=1+j+jbarre=1+2*cos(2π/3)=0
2.3----------
poser x^3=8*exp(2*i*π)  solution {2, 2 exp(2*I*π/3), 2 exp(4*I*π/3)}
3------------
Mettre sous la forme exponentielle

 

[Ch00Ch00]

il y a une heure, pzorba75 a dit :

4cos²(theta)-4=4(cos²(theta)-1)=-4sin²(theta)=(i*sin(theta))².

Bonsoir Pzorba75,

Merci pour votre aide, je ne vois pas comment vous passez de " 4(cos²(theta)-1) à -4sin²(theta)=(i*sin(theta))². " 
Merci d'avance,

[Ch00Ch00]

il y a une heure, Barbidoux a dit :

Salut Zorba

1------------
Racines x=cos(a)-i*sin(a)=exp(-i*a) et x=cos(a)+i*sin(a)=exp(i*a)
on pose x^n=y
x^n=exp(-i*a+2*k*π) ==> solutions {(-i*a+2*k*π)/n }
x^n=exp(i*a+2*k*π) ==> solutions {(i*a+2*k*π)/n }
2.1-----------
z^3=1=exp(2*k*π*i)
solution  z  sont exp(2*k*π*i/3) avec k=0,1,2 soit {1,exp(2*π*i/3), exp(4*π*i/3)}
2.2-----------
j=exp(2*π*i/3) ==> j^2=exp(4*π*i/3)
Jbarre=exp(-2*π*i/3)=exp(2*π*i-2*π*i/3)=exp(4*π*i/3)=j^2
--------
1+j+j^2=1+j+jbarre=1+2*cos(2π/3)=0
2.3----------
poser x^3=8*exp(2*i*π)  solution {2, 2 exp(2*I*π/3), 2 exp(4*I*π/3)}
3------------
Mettre sous la forme exponentielle

Merci pour votre aide Barbidoux,

Ah d'accord, je vois mes erreurs. 
Merci beaucoup,