DM Suites et Exponentielle.

[Izanami]

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre les deux dernières questions de mon DM alors si quelqu'un veut bien me venir en aide s'il vous plaît..

4) On définit la suite  pour tout entier n par :  = (1+(1/n))^n

a. Démontrer que pour tout entier n , 1/(n+1)*e    e.

b. En déduire que la suite () converge vers e.

 

Merci d'avance ! 

[CitronVert]

C'est bizarre comme exercice. D'une part parce que c'est drôlement dur pour un exercice de première, d'autre part parce que la question a) ne sert quasiment à rien (elle est probablement fausse).

Voilà ce que je propose :

1) Etudie la fonction f(x) = ln(x+1)-ln(x)-1/x pour x > 1

2) Etudie la fonction f(x) = ln(x+1)-ln(x)-1/(x+1) pour x > 1

3) Déduis en que n/(n+1)  n(ln(n+1)-ln(n))  1

4) Déduis en un encadrement de u_n , en la réécrivant intelligemment avec des exp et des ln.

5) Déduis en les questions a) et b).

Je t'ai mâché le travail, mais c'est un exo que je trouve difficile. Par sécurité, attends un peu peut-être que quelqu'un verra quelque chose de mieux.

[Izanami]

Ah, j'ai rectifié mon profil, je suis en terminale. Par contre, je n'ai toujours pas vu la fonction ln, donc impossible de l'utiliser... mais merci de bien avoir voulu m'aider. 

[pzorba75]

Il faut donner le sujet en entier, les premières questions préparent le terrain pour résoudre ce sujet, classique dans les livres de TS.

Sans la fonction ln, il faut commencer par étudier une fonction f:x->e^x-(x+1), montrer que que e^x>=x+1, bricoler pour monter que e^x<=1/(1-x) et étudier une suite (u_n) telle que u_n=(1+1/n)ⁿ et encadrer pour obtenir 0<=e-u_n<=alpha/n, et conclure avec le th. des gendarmes.

Si c'est tel que l'énoncé, tu as les éléments pour répondre aux questions qui te restent à faire.

Au travail.

 

[Boltzmann_Solver]

Bonjour à tous,

On aurait aussi une meilleure vue de ce qui est attendu si elle avait recopié tout le DM et non les dernières questions...