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loi normale centrée réduite mathématique terminale


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Bonjour je vous tape le sujet

Soit n un entier naturel non nul. On décide d'organiser un jeu de pile ou face avec les règles suivantes: 

- la pièce (équilibrée) est lancée n² fois

- à chaque lancer, le joueur mise 1/n  euro <

     - si pile sort, alors il gagne deux fois sa mise

     - si face sort, alors il n,e gagne rien 

1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées 

  a. Quel est la loi de X? Quel sont les valeurs prises par X, et leurs probabilités respectives? 

  b. Exprimer l'espérance E(X), la variance V(X) et l'écart type (X) en fonction de n. 

2. soit Z la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur au bout des n² parties (c'est a dire les gains au quels ont a ote les mise)

   a. Exprimer Z en fonction de X. Quel sont les valeurs prises par Z? Quel est la valeur minimale de Z? 

   b. Montrer que Z = X-E(X) / écart type (X)

    c. On rappel que si a et b sont des nombres réels et si X est un variable aléatoire, alors E(aX+b) = aE(X)+b

      Calculer E(Z) et interpreter ce résultat. On admettra que écart type de Z= 1.

3. a. Montrer que pour tout k compris entre o et n², 

       P (Z < 2k/n - n ) = P ( -n < Z <2k/n - n )= P ( X < k)

   b. A l'aide du logiciel geogebra, on a créé un curseur pour l'entier n et representer les points de coordonnées ( 2k/n - n ; P ( -n <Z < 2k/n -n ))

      pour k variant de 0 à n². On a utiliser la commande Séquence[(2k/n-n,Binomiale(n^2,0.5,k,true]),k,0,n^2,1]

      Quelle remarque peut-on faire quand n augmente? 

C.On trace la fonction F définie sur R par F(x)= int_-n^x 1/racine carrée 2pi e^-t²/2 dt. Quelle relation peut-on conjecturer entre 

    P ( -n<Z < 2k/n -n ) et F (2k/n-n) ? 

      Merci de m'avoir répondu 

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  • E-Bahut

Pour te mettre en marche, comme dit le ministre Play Boy

1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées 

  a. Quel est la loi de X? Quel sont les valeurs prises par X, et leurs probabilités respectives? 

X est une variable aléatoire X dans [0,1,2,...,n2suivant la loi binomiale B(n^2;1/2) et p(X=k)=binom{n;k)pk(1-p)n-k avec 0<=k<=n^2.

  b. Exprimer l'espérance E(X), la variance V(X) et l'écart type (X) en fonction de n. 

E(X)=n^2/2 V(X)=n^2/4 sigma(X)=sqrt(V(X))=n/2.

Je t'invite à travailler seul pour la suite et à présenter ton travail pour être aidé.

Je n'irai pas plus loin sans voir tes réponses.

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  • E-Bahut

Pour les élèves ayant le même sujet :

 

INTRODUCTION A LA LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE

Géogebra voir Pronote .

 

Soit n un entier naturel non nul. On décide d'organiser un jeu de pile ou face avec les règles suivantes :

  • La pièce (équilibrée) est lancée n^2 fois;
  • A chaque lancer, le joueur mise 1/n € :

       -- si pile sort, alors il gagne deux fois sa mise;

       -- si face sort, alors il ne gagne rien.

1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

(a) Quelle est la loi de X ? Quelles sont les valeurs prises par X, et leurs probabilités respectives?

(b) Exprimer l'espérance E(X), la variance V(X) et l'écart-type  ~\sigma(X) en fonction de n. 

2. Soit Z la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur au bout des n^2 parties (c'est-à-dire les gains auquel on a ôté les mises).

(a) Exprimer Z en fonction de X. Quelles sont les valeurs prises par Z ? Quelle est la valeur minimale de Z ?

(b) Montrer que Z = X - E(X)/( ~\sigma(X).

(c) On rappelle que si a et b sont deux nombres réels et si X est une variable aléatoire, alors E(aX + b) = aE(X) + b.

Calculer E(Z) et interpréter ce résultat.

On admettra que  ~\sigma(Z) = 1.

3. (a) Montrer que pour tout k compris entre 0 et n^2,

P(Z <= 2k/n - n) = P (- n <= Z <= 2k/n - n) = P(X <= k)

(b) A l'aide du logiciel Geogebra, on a créé un curseur pour l'entier n et représenté les points de coordonnée

(2k/n - n; P (- n <= Z <= 2k/n - n))

pour k variant de 0 à n^2. On a utilisé la séquence 

Séquence[(2kn-n, [Binomiale n^2,0.5,k,true] ) ,k, 0, n^2, 1].

Quelle remarque peut-on faire quand n augmente?

(c) Voir pièce jointe.

 

 

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Bonjour je vous met ce que j'ai fais mais je ne comprend pas la suite 

2) a) Z=1/n*X 

Si X =0 alors Z=1/n*0=0

Si X= 1 alors Z=1/n*1=1/n

b) Z=X-E(X) / sigma(X) 

E(X)= n²/2 et sigma(X)= n/2 

donc Z = X - n²/2 / n/2 = X - n 

Merci de pouvoir m'aider 

 

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