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Devoir Fonction et Suite


Aurélie44

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Bonjour, je n'arrive pas à finir cet exercice, si vous pouviez m'aider, merci d'avance.

Partie A - Etude d'une fonction
Soit f définie sur ]0;+∞[ par : f(x) = (1+x)/x(√((1+x))-1)
1)a) Déterminer lim f(x) quand x tend vers +∞
b) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x) = (1+x)/(1+√(1+x))
c) En déduire lim f(x) quand x tend vers 0
2) a) Montrer que f est dérivable sur ]0;+∞[ et que pour tout x de ]0;+∞[
b) Dresser alors le tableau de variation de f sur ]0;+∞[
c) Montrer que : f([1/2 ; 1])∁ [1/2 ;1]

Partie B - Etude d'une suite
Soit (un) définie par : u0=1 et un+1=f(un)
1) Montrer par récurrence que pour tout n de N, un ∈ [□(1/2);1]
2) Montrer par récurrence que pour tout n de N un+1 < un
3) En déduire que (un) converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x

Partie C - Propriété de a
Soit g définie sur ]0;+∞[ par g(x) = x3+x²-1
1) Montrer que g est strictement croissante sur ]0;+∞[
2) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x)=x↔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans ]0;+∞[ de l'équation g(x)=0
3) Donner un encadrement d'amplitude 10-3 de a

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  • E-Bahut

Bonsoir,

Il faudrait préciser le niveau (pour la rédaction) et les questions traitées avec tes réponses. En l'absence de travail de ta part, je resterai très évasif.

Je suppose que f(x) = (1+x)/(√((1+x))-1) vu la suite de l'énoncé.

A.

1)a) La limite vaut +inf par app du théorème des croissances comparées.

b) Application des racines conjuguées.

c)La limite vaut 1/2.

2)a) Baratin classique sur somme produit et composée de fonctions dérivables.

b) Classique

c) Classique.

B.

1) Utilise dans l'hérédité la stabilité de f dans [1/2;1].

2) Hérédité sup. que un+1 < un puis compose par f pour former un+2 et un+1. Suivant les variations de f, tu pourras conclure.

3) Suite minoré décroissante...

 

J'attends tes réponses pour une aide plus précise.

 

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C'est du niveau terminale S.

La première définition de f(x) est f(x) = ((1+x)/x)(√(1+x)-1)

Partie A

1) a) lim f(x) = +infini.gif

b) f(x) = ((1+x)/x) (√(1+x)-1)
            = (1+x(√(1+x)-1))/(x(√(1+x)-1))
            = (√(1+x)+x√(1+x)-1-x)/(x√(1+x)-x)

Après je suis bloqué

c) lim f(x) 0 -> = 1/2

2)a) J'arrive pas à montrer que f est dérivable
f'(x) = 2√(1+x)+1+x

Et je suis bloqué ici

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