Devoir Fonction et Suite

[Aurélie44]

Bonjour, je n'arrive pas à finir cet exercice, si vous pouviez m'aider, merci d'avance.

Partie A - Etude d'une fonction
Soit f définie sur ]0;+∞[ par : f(x) = (1+x)/x(√((1+x))-1)
1)a) Déterminer lim f(x) quand x tend vers +∞
b) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x) = (1+x)/(1+√(1+x))
c) En déduire lim f(x) quand x tend vers 0
2) a) Montrer que f est dérivable sur ]0;+∞[ et que pour tout x de ]0;+∞[
b) Dresser alors le tableau de variation de f sur ]0;+∞[
c) Montrer que : f([1/2 ; 1])∁ [1/2 ;1]

Partie B - Etude d'une suite
Soit (un) définie par : u0=1 et un+1=f(un)
1) Montrer par récurrence que pour tout n de N, un ∈ [□(1/2);1]
2) Montrer par récurrence que pour tout n de N un+1 < un
3) En déduire que (un) converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x

Partie C - Propriété de a
Soit g définie sur ]0;+∞[ par g(x) = x3+x²-1
1) Montrer que g est strictement croissante sur ]0;+∞[
2) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x)=x↔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans ]0;+∞[ de l'équation g(x)=0
3) Donner un encadrement d'amplitude 10-3 de a

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Il faudrait préciser le niveau (pour la rédaction) et les questions traitées avec tes réponses. En l'absence de travail de ta part, je resterai très évasif.

Je suppose que f(x) = (1+x)/(√((1+x))-1) vu la suite de l'énoncé.

A.

1)a) La limite vaut +inf par app du théorème des croissances comparées.

b) Application des racines conjuguées.

c)La limite vaut 1/2.

2)a) Baratin classique sur somme produit et composée de fonctions dérivables.

b) Classique

c) Classique.

B.

1) Utilise dans l'hérédité la stabilité de f dans [1/2;1].

2) Hérédité sup. que un+1 < un puis compose par f pour former un+2 et un+1. Suivant les variations de f, tu pourras conclure.

3) Suite minoré décroissante...

 

J'attends tes réponses pour une aide plus précise.

 

[Aurélie44]

C'est du niveau terminale S.

La première définition de f(x) est f(x) = ((1+x)/x)(√(1+x)-1)

Partie A

1) a) lim f(x) = +

b) f(x) = ((1+x)/x) (√(1+x)-1)
            = (1+x(√(1+x)-1))/(x(√(1+x)-1))
            = (√(1+x)+x√(1+x)-1-x)/(x√(1+x)-x)

Après je suis bloqué

c) lim f(x) 0 -> = 1/2

2)a) J'arrive pas à montrer que f est dérivable
f'(x) = 2√(1+x)+1+x

Et je suis bloqué ici

[Aurélie44]

J'ai réussi la 1)b) de la partie A mais je bloque sur la dérivé, je n'arrive pas à trouver le résultat demandé.

[pzorba75]

L'énoncé ne donne pas l'expression de f'(x) à obtenir.

[Aurélie44]

Je l'ai oublié désole : f'(x) = (1+(1/2)(√1+x))/(1+√1+x)²

[pzorba75]

Avec f(x)=(1+x)/(sqrt(1+x)+1) il vient f'(x)=[sqrt(1+x)+1)-(1+x)*1/(2*sqrt(1+x))]/[sqrt(1+x)+1]^2=[1+sqrt(1+x)/2]/[sqrt(1+x)+1]^2 CQFD

[Aurélie44]

Merci