manon3101 Posté(e) le 21 janvier 2016 Signaler Share Posté(e) le 21 janvier 2016 Bonjour, je suis bloquée sur cet exercice qui me permettrait de terminer mon devoir, je ne suis malheureusement pas très douée pour les fonctions et je ne sais pas trop par où commencer. Merci d'avance pour votre aide. Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=1/2In(x^3+1) 1- Montrer que f est croissante sur [0 ;+∞[. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 1]. On considère la suite (u_n ) définie par u_0 =1 et pour tout n de N, u_{n+1}=f (u_n). 2- a) Démontrer que pour tout n de N, 0 ≤u_{n+1}≤u_n ≤1. b) En déduire la convergence de la suite (u_n). 3- On considère la fonction g définie sur [0 ; 1] par g (x )= x−f (x ). a) On a effectué les calculs suivants à l’aide d’un logiciel de calcul formel. A quels calculs correspondent les 4e et 5e lignes de cette feuille de calcul ? b) À partir de ces calculs, déterminer le sens de variation de la fonction g ’ sur [0 ; 1]. c) En déduire le signe de g’ sur [0 ; 1] puis le sens de variation de g sur [0 ; 1]. d) Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution dans [0 ; 1] que l’on précisera. 4- En déduire que lim_{n-->+∞} u_n=0. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 21 janvier 2016 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 21 janvier 2016 1------------- f(x)=ln(x^3+1)/2 f'(x)=3*x^2/(2*(x^3+1)) > sur [0,1] donc fonction croissante sur cet intervalle x………0………………….1 f(x)……0……..crois………ln(2) 2a------------- u0=1≥0 u1=0.347 ≥0 u2=0.0204 ≥0 …….. on suppose un≥0 un+1=ln(un^3+1)/2 comme un>0 ==>un^3+1==> ln(un^3+1)/2 >0 la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n ---------------- u0=1 u1=0.347 ≤u0 u2=0.0204 ≤u1 …….. on suppose un≤un-1 un+1=ln(un^3+1)/2 un+1-un=ln(un^3+1)/2-ln(un-1^3+1)/2=ln((un^3+1)/un-1^3+1)) comme 0≤un≤un-1 ==> 0≤un^3≤un-1^3 ==> 0≤un^3+1≤un-1^3+1 ==> (un^3+1)/un-1^3+1)≤1 ==> ln((un^3+1)/un-1^3+1))≤0 ==> un+1-un≤0 n la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et la suite un est décroissante ---------------- 2b------------- La suite un étant bornée et décroissante est convergente et tend vers sa borne inférieure et lorsque n -> ∞ alors un ->0. 3a------------- g(x)=x-f(x) -------- La quatrième ligne de la feuille calcul correspond au calcul formel de la dérivée seconde g''(x) de la fonction g(x)=x-ln(x^3+1)/2. La cinquième ligne de la feuille calcul correspond au calcul de la valeur du nombre dérivé g'(1). 3b------------- g''(x)=3*(x^3-2)/(2*(x^3+1)^2) sur l'intervalle [0,1 ] g''(x)<0 ce qui signifie que g'(x) est décroissante sur cet intervalle g'(x)=1-3*x^2/(2*(x^3+1)) g'(0)=1 et g'(1)=1/4 et g'(x)<0 font que g'(x) est >0 sur l'intervalle [0,1] et donc g(x) est croissante sur cet intervalle. -------- g(0)=0 et g(1)= 1-ln(2)/2>0 Le graphe de g(x) coupe donc l'axes des x qu'en une valeur unique dont l'abscisse est égale à 0 et qui est solution de g(x)=0 sur l'intervalle [0,1] ------- Lorsque n-> ∞ alors f(un) -> un+1 ==> lim un+1=lim un=lim f(un) et comme lim g(un)=lim (un-f(un)) ->0 on en déduit que > un->0 lorsque n->∞ Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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