Dm de mathématiques

[berlier]

Bonjour à tous, pouvez vous m'aider pour cet exercice je bloque j'ai fais juste la première question. Merci d'avance.

[pzorba75]

Ce sujet peut être saisi, comme sera saisie la correction de ton travail. Pas de pièce jointe quand ce n'est pas utile!

[berlier]

Je n'ai pas compris que veux dire votre pièce peut être saisie ? 

[pzorba75]

Tapé sur le clavier, ou saisie informatique.

[berlier]

Ah d'accord je dois réécrire le sujet à la main?

[berlier]

Soit Cf la parabole représentant la fonction f(x)= 1-x2 dans un repère orthonormal du plan.

Soit a>ou= 0 un réel et M le point d'abscisse à de Cf.

La tangente à Cf passant par M coupe l'axe des abscisses au point A et  l'axe des ordonnées au point B.

L'objet de l'exercice est de trouver les positions du point M permettant de minimiser l'aire du triangle OAB.

1) Écrire l'équation de la tangente à Cf passant par M en fonction de a .

2) Discuter selon les valeurs de a, l'existence des points A et B.

3) Déterminer les coordonnées des points A et B en fonction de a.

4) Montrer que l'aire du triangle OAB s'écrit (1+a^2)^2/4a en fonction de a.

5) Soit g(x) la fonction définie sur ]0;+~[ par g(x)=(1+x^2)^2 /4x Étudier les variations de g.

6) Montrer que l'aire minimale du triangle OAB est 4√3 /9

Bonus: Selon vous que se passe -t-il, si le réel a est quelconque ( c'est à dire positif ou négatif)?

[berlier]

1)J'ai trouver que y=a^2-2ax+1 

2) j'ai compris que lorsque y=1  c'est à dire lorsque la tangente est parallèle à l'axe des abscisses le point  A n'existe pas.

2) les coordonnées de A (a;f(a)) et B pareil mais  je j'en suis pas sur.

 

 

 

[Barbidoux]

1) Écrire l'équation de la tangente à Cf passant par M en fonction de a . y=-2*ax+a^2+1 OK

2) Discuter selon les valeurs de a, l'existence des points A et B.

3) Déterminer les coordonnées des points A et B en fonction de a. la droite y coupe l'axe des abscisses en x=(a^2+1)/(2*a) et l'axes de ordonnées en y=a^2+1 ==> A{(a^2+1)/(2*a),0} et B{0,a^2+1}

4) Montrer que l'aire du triangle OAB s'écrit (1+a^2)^2/4a en fonction de a. aire OAB=OA*OB/2=(a^2+1)/(2*a)*(a^2+1)/2=(a^2+1)/(4*a)

5) Soit g(x) la fonction définie sur ]0;+~[ par g(x)=(1+x^2)^2 /4x Étudier les variations de g. g'=(1/4*x^2)*(3*x^4+2*x^2-1) s'annule pour x=-1/√3 et x=1/√3 et du signe du coeff de x^4 à l'extérieur des racinne ==> minimum pour x=1/√3 valant f(1/√3)=4/√3

6) Montrer que l'aire minimale du triangle OAB est 4√3 /9

[berlier]

Merci beaucoup , je m'excuse mais je ne comprend pas comment vous avez trouver les coordonnées de À et de B .

[berlier]

Et de même pour la dernière question je ne comprend pas comment vous avez trouvé les solutions.

[Barbidoux]

3) Déterminer les coordonnées des points A et B en fonction de a. 

la droite y coupe l'axe des abscisses au point A d'ordonné nulle en faisant y=0 dans on équation on obtient l'abscisse de A qui vaut x=(a^2+1)/(2*a)

la droite y coupe l'axe des ordonnées au point B d'abscisse nulle en faisant x=0 dans on équation on obtient l'ordonnée de B qui vaut  y=a^2+1

finalement  A{(a^2+1)/(2*a),0} et B{0,a^2+1}

5) Soit g(x) la fonction définie sur ]0;+~[ par g(x)=(1+x^2)^2 /4x Étudier les variations de g. g'=(1/4*x^2)*(3*x^4+2*x^2-1)

le signe de g' est celui du polynôme  P(x)=3*x^4+2*x^2-1. On pose z=x^2, il s'écrit alors  P(z)=3*z^2+2*z-1 qui est un polynôme qui admet deux racines z=-1 et z=-1/3. De la relation x^2=z ==> x=±√z on en déduit que le polynôme P(x) admet deux racines qui sont x=-1/√3 et x= 1/√3. Les signes de P(x) et de P(z) sont les mêmes et le signe de P(z) est du signe du coeff de z^2 à l'extérieur des racines. On en déduit le tableau de variations suivant :

x..................................(-1/√3)................................................(1/√3)........................... 

g'(x)............(+)...............(0).....................(-)...........................(0)..................(+)............

g(x).........crois...............Max..............decrois.....................Min............crois..............

minimum pour x=1/√3 valant f(1/√3)=4/√3

[berlier]

D'accord je comprend beaucoup mieux, je vous remercie du fond du coeur pour votre aide. Or je ne pense pas que mon prof attend de nous ce calcul pour l'équation du quatrième degré n'y a t-il pas une méthode pour se rapporter à x^2 sans les z ?

[Barbidoux]

Certaines équations du quatrième degré se résolvent comme une équation du second degré (il suffit de poser z=x^2) lorsqu'elles ne comprennent que des termes de degré 4 et de degré 2 ce qui est le cas ici.

[berlier]

Ah d'accord merci beaucoup, et je voulais vous demander pour la question 2) j'ai compris que lorsque la droite y est parralles à l'axe des abscisses alors le point A n'existe pas et que lorsque la droite est parallèle l'axe des ordonnées B n'existe pas.mais je ne sais comment prouver 

[Barbidoux]

la droite y n'est jamais // à l'axe des ordonnées. Lorsqu'elle est parallèle à l'axe des abscisses c'est à dire lorsque a=0 alors B  a pour coordonnées {0,1} et A est rejeté à l'infini. Dans ce cas la surface de OAB tend vers ∞.