Spé Math Term S : Divisibilité Par 11

[skate81]

On considère un entier A défini par son écriture décimale A = anan-1an-2..........a2a1a0 (sous une barre) avec an différent de 0.

On dira que le rang du chiffre ak est égal à k.

a)Démontrer que A est divisible par 11 si et seulement si, la somme des chiffres de rang pair diminuée de la somme des chiffres de rang impair est divisible par 11 (on distinguera les cas n pair et n impair).

b)L'entier 15 374 876 926 816 est-il divisible par 11 ?

Merci d'avance de votre aide.

Bonne journée.

[skate81]

Je vous ai remis l'énoncé plus clairement :

On considère un entier A défini par son écriture décimale A = a_na_n-1a_n-2..........a₂a₁a₀ (sous une barre) avec a_n différent de 0.

On dira que le rang du chiffre a_k est égal à k.

a)Démontrer que A est divisible par 11 si et seulement si, la somme des chiffres de rang pair diminuée de la somme des chiffres de rang impair est divisible par 11 (on distinguera les cas n pair et n impair).

b)L'entier 15 374 876 926 816 est-il divisible par 11 ?

[Barbidoux]

A=a_na_n-1.......a0

si n est pair alors 10ⁿ=1[11] car 0=1[11], 100=99+1=1[11] etc.....

si n est impair alors 10ⁿ=-1[11] car 10=-1[11], 1000=1001-1 =1[11] etc.....

conclusion le reste de la division de A par 11 vaut a_n-a_n-1+..........+a₁-a₀ si n est pair et -a_n+-a_n-1+..........+a₁-a₀ si n est impair et si ce reste est divisible par 11 alors A l'est aussi

1 - 5 + 3 - 7 + 4 - 8 + 7 - 6 + 9 - 2 + 6 - 8 + 1 - 6=-11 donc 15374876926816 est divisible par 11

[Boltzmann_Solver]

A=a_na_n-1.......a0

si n est pair alors 10ⁿ=1[11] car 10=1[11], 100=99+1=1[11] etc.....

si n est impair alors 10ⁿ=-1[11] car 10=-1[11], 1000=1001-1 =1[11] etc.....

conclusion le reste de la division de A par 11 vaut a_n-a_n-1+..........+a₁-a₀ si n est pair et -a_n+-a_n-1+..........+a₁-a₀ si n est impair et si ce reste est divisible par 11 alors A l'est aussi

1 - 5 + 3 - 7 + 4 - 8 + 7 - 6 + 9 - 2 + 6 - 8 + 1 - 6=-11 donc 15374876926816 est divisible par 11

[skate81]

Mais pourquoi utilise t on le chiffre 10 ?

[Boltzmann_Solver]

Mais pourquoi utilise t on le chiffre 10 ?

[skate81]

D'accord mais je ne connais même pas le terme base décimale. Le mot décimale je le connais bien-sûr mais pas base décimale.

Oui voilà c'est cela.

[Barbidoux]

Bonsoir Barbidoux,

Les lignes 2 et 3 se démontrent proprement à l'aide de la propriété d'exponentiation de la congruence.

Propriété :

Si a equiv b[c] alors a^n equiv b^n[c].

Cette propriété découle du binôme de Newton mais elle est admise en TS.

Si tu prends a=100, tu retrouves le cas pair et le cas impair se déduit du pair en réalisant une multiplication adéquate.

[Boltzmann_Solver]

Je t'en prie !! J'ai au moins un "élève" qui comprend mes explications :p. Cette année, j'ai l'impression que personne (j'exagère un peu, certains y arrivent ) ne comprend ce que je raconte sur le forum.

[Barbidoux]

Un vieux prof a qui j'avais demandé ce qui continuait à le motiver eau bout de 40 ans d'enseignement m'a dit "Si je continue à avoir envie d'enseigner après plus de quarante année passée à le faire c'est qu'il me semble bien avoir vu un jour une lueur d'intérêt dans l'oeil d'un de mes élèves" .... je ne doutais pas à l'époque que son envie était si contagieuse....

[skate81]

Merci beaucoup à tout les deux et une bonne journée.