Terminale Es Spécialité Maths-Minimisation D'une Grandeur Et Phénomènes Évolutifs

[ChloéGabriel]

Devoir maison de spécialité maths en Terminale ES

Une île isolée de 5 000 habitants connaît une épidémie et chaque habitant peut être dans l'un des trois états suivants : ni infecté ni immunisé (S), infecté (I) ou immunisé ®.

Des études montrent que, d'un mois à l'autre, chaque habitant peut voir son état changer selon les règles suivante :

- s'il est immunisé, il peut le rester avec une probabilité 0,8 ou devenir ni malade ni immunisé avec une probabilité 0,2

- s'il est infecté, il peut le rester avec une probabilité 0,1 ou devenir immunisé avec une probabilité 0,9

- s'il est ni infecté ni immunisé, il peut le rester avec une probabilité 0,3 ou devenir infecté avec une probabilité 0.7

On sait qu'au début de l'épidémie, 1% de la population de cette île était infectée et 5% immunisée.

Questions

1. a) Donner la répartition de la population dans les 3 états au bout de 3 mois

b) Conjecturer la répartition vers laquelle se stabilisera cette population à long terme

2. a) On note P = (x y z) l'état stable du graphe. Démontrer que x et y vérifient :

{ 0,9x + 0,2y = 0,2

{ -0,7x + 0,9y = 0

b) Résoudre ce système avec l'outil de votre choix, puis préciser la conjecture émise précédemment.

Merci de votre aide

[blablablablablabla]

tu as vu les matrices ?

[ChloéGabriel]

Oui mais là je n'arrive pas à faire cet exercice

[blablablablablabla]

Fait un schéma avec les différentes proba puis fait une matrice de transition M à l'aide de celui-ci (tu obtiendra une matrice 3X3).

Au début : U0

1 mois : UO * M

2 mois : U0*M*M

3 mois : U0 * M*M*M

Pour avoir l'état stable il me semble qu'il faut que tu calcules la limites de chaque termes de ta matrice.

Pour résoudre le système tu fais ça à la calculette

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

1) a) Tu dois calculer les probabilités pour les trois premiers mois comme tu l'aurais fait en obligatoire à partir des données de l'énoncé.

b) J'imagine que tu dois pouvoir conjecturer les solutions de la 1)a).

2) a) Tu sais que Pn+1 = Pn*M Où Pn est l'état probabiliste et M est la matrice de transition. Or, l'état stable P est obtenu quand Pn+1 = Pn.

Avec ça, tu pourras conclure.

b) Tu as un système 2x2 comme tu sais le faire depuis la troisième.

Voilà quelques pistes pour te lancer. Si tu ne vois toujours pas précise ta demande.

[ChloéGabriel]

Je n'arrive pas répondre à la question 1. a)

[ChloéGabriel]

1. a) Cette épidémie met en évidence 3 états possibles :

- ni infecté ni immunisé (S)

- infecté (I)

- immunisé ®

De plus, P Sn+1 (Sn+1) = 0,3

P Sn+1 (In+1) = 0,7

P In+1 (In+1) = 0,1 etc.... (Ce sont des i majuscules, pas des ln logarithme népérien)

On traduit cela par un graphe probabiliste :

j'ai fais un graphe probabiliste avec S, I et R. Les arcs issus de chaque sommet ont été associés à leur probabilité respective.

On en déduit la matrice de transition :

M =

( 0,3 0,7 0)

( 0 0,1 0,9)

( 0,2 0 0,8)

Soit M la matrice de transition du graphe probabiliste. Pour tout n lN

Pn+1 = Pn * M

Pn = Po * Mn

L'état stable P = ( x y z)

Et là je suis bloquée pour multiplier l'état stable P avec la matrice de transition M.

Besoin d'aide

[pzorba75]

L'état stable existe si P_n+1=P_n. En utilisant P_n+1=P₀*Mⁿ tu peux terminer cette question.

Sinon, voir Boltzmann qui a travaillé sur ce sujet.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

@Chloé : pour multiplier deux matrices, tu peux te référer au schéma http://www.texample.net/tikz/examples/matrix-multiplication/

Essaye de me faire le produit matriciel et je t'aiderai ensuite.

Sinon les premiers résultats sont encourageants (tu y es arrivée seule ?).

@Zorba : attention. l’existence de l'état stable n'est pas assuré par Pn+1 = Pn. Par contre, s'il existe alors le plus souvent (du moins au lycée) alors il vérifie P = Pn+1 = Pn.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Tu avances ?

[Boltzmann_Solver]

???