Probabilité/lois À Densité/intégrale.

Marie861 · le 12 avril 2014

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider pour certaines questions d'un exercice de maths s'il vous plait ?

Soit f la fonction définie sur l'intervalle (0;1) par f(x)=ln(x+1).

1) Vérifiez que la fonction G définie sur l'intervalle )0;+( par G(x)=xlnx-x est une primitive de la fonction ln sur l'intervalle )0;+ (.

2) En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle (0;1)

3) Déterminer le nombre réel a pour que la fonction h définie sur l'intervalle (0;1) par h(x)=aln(x+1) soit une densité de probabilité.

4) (graphique)

5) Soit X une variable aléatoire dont la densité est la fonction h. Donne une valeur approchée arrondie à 10^-2de

P(0,4 X 1) et en donner la signification graphique.

1) Pour démontrer, j'ai dérivé la fonction G. En posant v(x)=x , u(x)=lnx et g(x)=-x . v'(x)=1 , u(x)=1/x et g'(x)=-1 . J'utilise = (u*v)' = u'*v + v'*u . Et je trouve bien G'(x)=lnx.

2) Ici j'ai supposé qu'il fallait remplacer x par (x+1). Ce qui me donne

F(x)=(x+1)*ln(x+1)-x-1. (J'imagine que c'est faux..)

3) Ici il faut que la fonction h(x) respecte les 3 conditions pour qu'elle soit une densité de probabilité. Il faut que L'intégrale de 0 à 1 de h(x)dx=1.

Alors je calcule d'abord l'intégrale de 0 à1 de ln(x+1). Je trouve 2ln(2)-1 .

J'en déduis que (2ln(2)-1) *a=1. a=1/(2ln(2)-1) .

4) Mais à partir d'ici tout est faux, je dois trouver que P(0,4 X 1)=0,82 à peu près, mais je trouve jamais ce résultat alors je pense que tout ce que j'ai mis au dessus est faux.

Je calcule l'intégrale de 0,4 à 1 de aln(x+1) = P(1)-P(0,4) (P étant la primitive de h(x)).

Merci

Papy BERNIE · le 12 avril 2014

Bonjour,

ton G(x) comporte un "-1" à la fin . Pourquoi ?

G(x)=(x+1)*ln(x+1)-x

On a bien : G '(x)=ln(x+1)=f(x)

Avec ce G(x) , on trouve G(1)-G(0)=2ln(2)-1

on a bien :

a=1/[2ln(2)-1]

On a donc :

P(x)=1/[2ln(2)-1]*[(x+1)*ln(x+1)-x]

Pour la proba : P(0.4 X 1) , tu calcules P(1)-P(0.4) .

P(1)=1/[2ln(2)-1]*[2*ln(2)-1]=1

P(0)=1/[2ln(2)-1]*[1.4*ln(1.4)-0.4] ~0.184

P(1)-P(0)=1-0.184 =0.816 ~0.82

Marie861 · le 12 avril 2014

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Alors pour le '-1' à la fin je le mets parce-que dans l'expression de la Primitive, je remplace le "x" par (x+1) .

Pour moi c'est comme si :

G(x)=xlnx-x

Et le x = (x+1) dans ce cas.

Du coup je comprends pas pourquoi on le met pas.

Merci.

Papy BERNIE · le 12 avril 2014

Et le x = (x+1) dans ce cas.

Marie861 · le 12 avril 2014

Merci, je vais essayer de reprendre cet exercice alors, en enlevant ce coup-ci le -1.

Marie861 · le 12 avril 2014

Alors la suite des questions :

6). a. Soit K la fonction définie sur l'intervalle )-1;+ ( par K(x)=2(x²-1)ln(x+1)-x(x-2).

Dériver la fonction K puis en déduire une primitive de H de la fonction x-> xh(x) sur l'intervalle )-1;+ (.

b. On pose E(X)= (de 0 à 1) xh(x)dx. Calculer E(X) puis en donner une valeur approchée avec 2 décimales.

6) a. Alors j'ai essayé de dériver K. j'ai obtenu

K'(x)=4x*ln(x+1) + (2x²-2)/(x+1) -2x -2. Mais je vois pas en quoi ça m'aide pour trouver la primitive de xh(x).

( Donc h(x)= (1/(2ln(2)-1))*ln(x+1) si j'ai tout suivi ) .

b. Vu que j'ai pas la primitive je peux pas encore calculer E(X).

Merci.

Papy BERNIE · le 12 avril 2014

6) Je t'envoie donc la primitive H(x) que j'ai trouvée . Tu vérifies bien mes calculs .

Pour dériver K(x) , j'ai distribué -x(x-2) devenus -x²+2x.

Vois la pièce jointe. Je me déconnecte pour ce soir : je vais prendre l'air ! ! Bon courage et éventuellement : à demain matin.

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=17272">Marie861.pdf

Marie861.pdf

Marie861 · le 12 avril 2014

Merci, je vais regarder tout ça pour voir si je comprends !

Bonne bouffée d'air à vous .

pipo700 · le 17 avril 2014

Moi je n'y arrives pas :/

la question 4 ) quand je veux représenter la fonction h dans le reprère je me retrouve avec une fonction négative , h(x) = ln(x+1) / 2ln2 - 2 ??

Papy BERNIE · le 17 avril 2014

Bonjour Pipo700,

La fct h(x) est :

h(x)= (1/(2ln(2)-1))*ln(x+1)

La courbe de h(x) ci-dessous.

pipo700 · le 4 mai 2014

Merci , J'ai finalement compris . J'ai jetté aussi un coup de d'oeil sur la dernière question mais je cne comprend pas très bien le raisonnement et comment fait t'on pour trouver H(x)= 1 /4 K(x) ??

Papy BERNIE · le 4 mai 2014

Pipo , je ne pense pouvoir répondre avant demain soir ou mardi. Tu me dis si c'est ok ou pas.

pipo700 · le 4 mai 2014

D'accord pas de soucis, Mercii

Papy BERNIE · le 5 mai 2014

Je suis désolé Pipo mais je ne peux rien faire de plus que ce que j'ai envoyé à Marie en pièce jointe (Marie861.pdf) le 12 avril à 18 h 02. Je peux juste te conseiller de prendre une feuille de brouillon et de refaire tout ce que j'ai fait doucement , en comprenant bien comment on passe d'une ligne à l'autre.

Si tu regardes sur l'écran , tu as beaucoup plus de mal à comprendre.

Bon courage.

pipo700 · le 5 mai 2014

D'accord. Ensuite j'ai un autre exercice où l'on me demande de trouver la moyenne et l'écart type .

Une chaîne de distribution grand public achète à une coopérative des produits de la mer pour alimenter le rayon « poissonnerie » de ses magasins. On appelle X le temps (compté à partir de sa sortie de l’eau) au bout duquel le poisson est vendu. On admet que X suit une loi N (μ ; o2). Le contrôleur apprécie la qualité, par cotation organoleptique, en utilisant un indice d’altération. Il a observé que 8 fois sur 10, le poisson était vendu entre 36 et 120 heures après avoir été pêché et que 3 % du poisson était jeté car impropre à la consommation (pêche datant de plus de 120 heures).

1) Calculer μ et o .

2) Une cliente achète du poisson à 18 h. Quelle est la probabilité que le poisson ait été pêché après

midi la veille ?

la question 1) , grâce à l'énoncé je me retrouve avec P(36<X<120)= 0,8 et P(X>120)=0,03 ce qui me permet d'écrire P( X<120)=0,97 .

Ensuite J'ai beau chercher je ne vois pas comment faire. ( Aussi j'aimerais savoir comment déterminer l'écart-type grace à la moyenne )

Sans la question 1) je ne peut pas calculer P(X>30) (question 2)

pzorba75 · le 5 mai 2014

Dans ce genre d'exercice, tu dois passer par la loi normale centrée réduite N(0;1) et la variable T=(X-mu)/sigma. T suit une loi N(0;1)

Il faut 2 équations d'inconnues mu et sigma. Une à partir de p(X<36) et une à partir de p(X<120).

Ensuite avec ta calculatrice pour obtenir (36-mu)/sigma et (120-mu)/sigma, tu peux résoudre.

pipo700 · le 5 mai 2014

Merci Beaucoup pour l'explication , mais j'ai peur de ne pas bien comprendre ( le vocabulaire mathématique x) )

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