Fonction Et Géométrie Ts

[emilie4]

Bonjour ,j'ai un devoir a finir ,et il ne me reste qu'un exercice a faire où je suis bloqué ,j'aurai besoin d'aide s'il vous plait ,voici l'exo :

Le plan rapporté à un repère orthonormal (O; vecteur i ;vecteur j).

Soit f définie sur R par f(x)=In (e^x +1) -x et C sa courbe représentative.

1.Montrer que pour tout réel x ,f(x)=In(1+e^-x).

En déduire lim f(x). Interpréter graphiquement.

x->+infini

2.Montrer que lim [ f(x)+x]=0.On dit que la droite D d'équation y=-x est asymptote à C en + infini.

x->-infini

3.Etudier les positions relatives de D et C.

4. Soit A le point de C d'abscisse 0 et delta la tangente à C en A.

a)Déterminer l'équation réduite de delta.

On note B (resp.C) l'intersection de delta avec l'axe des abscisses (resp.la droite D).

b)Déterminer les coordonnées de B et de C.

c)Montrer que A est le milieu de [bC].

5.Sur un graphique sont représentées les droites d'équations x=0 et y=0 et la courbe C.

Construire à la règle et au compas :

la droite D ;

la droite delta.

Merci a tous ceux qui accepteront de m'aider.

[pzorba75]

Pour te mettre en route :

En notant correctement,

f(x)=ln(e^x+1)-x=ln((e^0+e^(-x))/e^(-x))-x=ln(1+e^(-x))-ln(e^(-x))-x=ln(1+e^(-x))-(-x)-x=ln(1+e^(-x))

lim_{x->+infty)e^(-x))=0 donc lim_{x->+infty)f(x)=ln(1)=0

lim_{x->-infty)[f(x)+x]=0 donc lim_{x->-infty)f(x) =-x la droite d'équation y=-x est asymptote en - infty.

A rédiger en justifiant.

Au travail

[emilie4]

d'accord merci pour votre réponse je vais m'y mettre.

[manon3101]

Bonjour, je suis bloquée sur ce devoir auriez vous des pistes pour m'aider ? Merci d'avance

[pzorba75]

Qu'as-tu fait?

Rappel :

l'équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction f, dérivable au point d'abscisse a est :

y=f'(a)*(x-a)+f(a) ce qui permet d'obtenir l'équation réduite de la droite Delta

[manon3101]

1- Pour tout réel x, f(x)=ln(e^x+1)-x=ln((e^0+e^(-x)) / e^(-x))-x=ln(1+e^(-x))-ln(e^(-x))-x=ln(1+e^(-x))-(-x)-x=ln(1+e^(-x))

On a lim_{x-->+infini}e^(-x)=0 donc  lim_{x-->+infini}1+e^-x=1 donc lim_{x-->+infini}ln(1+e^-x)=0

2- On a lim_{x-->-infini} e^(-x)=0 donc  lim_{x-->-infini}1+e^-x=1 donc lim_{x-->-infini}ln(1+e^-x)=0

Comme f(x)-x=ln(1+e^-x) et que lim_{x-->+infini}ln(1+e^-x)=0, on en déduit que la droite D est asymptote en -infini.

3- Comme f(x)-x=ln(1+e^-x), pour tout x élément R, e^-x > 0,on a 1+e^-x > 1 ainsi ln(1+e^-x) > 0 . On en déduit que l'asymptote D est en dessous de la courbe C sur R.

 

[pzorba75]

Réponses correctes.