Limites

[j-l]

Bonjour. Voilà un exercice sur les limites, si vous pouvez me corriger merci.

1) Lim (x-->-inf) e^1/xx³³

2)Lim (x-->+inf) e^-xln⁴x

3)Lim (x-->0⁺) e^xx²ln⁴x

4)Lim (x-->+inf) (1+(2/x))^x

Pour résoudre ces limites j'utilise le théorème de croissance comparée.

1) je trouve Lim=-inf, ici on a pas de forme indéterminée car e⁰=1.

2) je trouve Lim=0, grâce au théorème de croissance comparée, et donc c'es l'exponentiel qui gagne.

3) je trouve Lim=0, ici aussi grâce au théorème de croissance comparée mais dans ce cas c'est la puissance qui l'emporte car l'exponentiel ne fait pas partie de l’indétermination.

4) J'ai mis que (1+(2/x))^x=e^xln(1+(2/x))

Et du coup Lim (x-->+inf) xln(1+(2/x))= +inf grâce au théorème de croissance comparée c'est la puissance qui l'emporte.

On a alors Lim (x-->+inf) e^x=+inf

Donc, Lim (x-->+inf) (1+(2/x))^x=+inf.

Voilà, si vous pouvez me corriger, j'ai pas mis toutes mes justifications pour un gain de temps, mais si vous voulez plus de détails de mon calcul, pas de soucis. Je suis pas sûr de tout.

Merci

[Barbidoux]

OK pour les trois premières, pour la 4 j'aurais dit :

(1+(2/x))^x=e^xln(1+(2/x))

avec un changement de variable X=2/x on montre que la lim de ln(1+X)/X lorsque X->0 vaut 1 donc lorsque x->∞ alors lim (1+(2/x))^x=exp(2)

[j-l]

D'accord, merci

[j-l]

Juste une question, ln(1+X)/X ça marcherait si on avait 1/x mais là on a 2/x, du coup tu peux pas faire le taux d’accroissement non ?

[Barbidoux]

avec un changement de variable X=2/x alors x*ln(1+2/x) devient 2*ln(1+X)/X et lim x*ln(1+2/x) quand x->∞ = lim 2*ln(1+X)/X quand X->0

comme ln(1+X)/X ->1 lorsque X->0 alors exp(x*ln(1+2/x))-> exp(2) lorsque x-> ∞

[j-l]

Il n'y a pas de moyen de vérifier si on a fait juste à une limite, une méthode générale ?

[Barbidoux]

Le premier réflexe qu'il faut avoir c'est le réflexe "graphique", cela bien souvent permet de conjecturer les comportement de la fonction (limites asymptotes etc...) ensuite le réflexe numérique (évaluation de la fonction), avec les calculatrices ou les logiciels gratuits ce n'est plus un problème de nos jours et cela peut orienter sa recherche... En math, comme dans d'autres domaines ailleurs, c'est en sachant où il faut chercher que l'on trouve ce que l'on cherche ....

[j-l]

"c'est en sachant où il faut chercher que l'on trouve ce que l'on cherche ...." Très belle phrase

Et je viens de vérifier sur un site qui étudie les fonctions, pour ceux qui seront bloqués et qui verront cette publication c'est bien e^(2).

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Niveau rédaction, on attend de toi que tu utilises un équivalent/DL suivant ton avancement dans le cours.

[j-l]

Bonjour,

Oui on a vu les équivalences, mais comment on peut prouver que lim x*ln(1+2/x) quand x->∞ est équivalent lim 2*ln(1+X)/X quand X->0 ??

J'ai trouvé un moyen plus simple de résoudre cette limite en cherchant dans les limites connues et j'ai trouvé que :

Lim (x-->+inf) (1+(t/x))^x=e^t

Après il fallait la connaitre cette limite....

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Certes mais ce n'est pas une limite classique (au sens à connaître par cœur).

Et de manière générale, les scientifiques préfèrent en retenir le moins possible. Après, c'est ton choix.

~ : équivalent en +inf.

(1+(2/x))^x ~ exp(x*ln(1+(2/x))) ~ exp(x*2/x) ~ exp(2) (Je n'ai pas détaillé mais tu dois vérifier que tu peux faire les équivalents à chaque fois).

[j-l]

Tu admet ces équivalences grâce au théorème de croissance comparée ?

[Boltzmann_Solver]

Non, je les connais/démontre à partir des développements limités que tu verras cette année. Toi, tu as du avoir une table avec les équivalents usuels.

Le théorème des croissances comparées ne te donne pas d'équivalents (enfin, à l'ordre 0, donc pas).

[j-l]

Oui c'est vrai.

En tout cas merci

[Boltzmann_Solver]

Je t'en prie^^.

Bonne soirée.