Question Suite Terminale S

[Youpi2207]

Bonjour, je sollicite votre aide, car je n'ai strictement rien compris à la question 3) de mon exercice de maths...Pourriez-vous m'aider?

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Un indice. Pour les deux demos, il faut remarquer que f(un) = un+1

[pzorba75]

f est croissante sur ]-5;+infty[ et lim_{x->+infty}=5

Pour la récurrence :

Initialisation P u₀=3 u₁=(5*u₀+1)/(u₀+5)=2 donc 0<u₁<u₀<3 la relation est initialisée.

Hérédité : 0<u_n<3 par la propriété de f et f(3)=2, il vient 0<f(u_n)<f(3) donc 0<f(u_n)<2 et 0<u_n+1<3 la relation et vraie pour n+1, elle est héréditaire.

Conclusion Elle est vraie pour 0,1 , elle est héréditaire, elle est vraie pour tout n.

La dernière question n'est que du calcul pour trouver v_n=1/2*(2/3)ⁿ ce qui permet en recalculant un de démontrer que la limite de un est égale à 1.

Vérification facile avec Libre Office et un petit tableau.

A toi de rédiger tout cela correctement.

Au travail!

[Youpi2207]

Merci beaucoup, je pense avoir mieux compris!

par contre je ne comprends pas comment déduire la limite de Un....

enfin de quelle manière montre t-on qu'elle converge vers 1

[pzorba75]

En calculant v_n, tu pourras calculer u_n, et dans l'expression de u_n les termes 1/2*(2/3)ⁿ tendent vers 0, si bien que tous calculs faits et redits de mémoire, la limite de u_n=1.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Zorba,

Tu as oublié de justifier ta loi de composition. 0 < Un < 3 ==> f(0) < f(Un) < f(3) car f est croissante sur ]0;3[. C'est très important. (Même si j'imagine que c'était implicite par rapport au début).

Et pour la b), ça repose sur le théorème des suites majorées croissantes et non sur les résultats de la question 4) dont on ignore les sous questions (même si c'est sûrement ce que tu as fait qui est attendu)

Bonne journée. Je retourne à mes copies^^.