Suites Arithmétiques Et Géométriques

[MAG62]

Bonsoir, j'ai un Dm de maths à rendre jeudi.. je ne sais pas comment faire, un gros exercice porte sur les suites, et je n'ai strictement rien compris.. Pouvez-vous m'aidez en urgence s'il vout plait ?

Voici l'ennoncé : On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour n entier naturel par :

U(0)=0

U(n+1)=(2U(n)+V(n))/3

V(0)=2

V(n+1)=(U(n)+2V(n))/3

1) calculez u1, u2, v1 et v2

2) On considère la suite (dn) définie pour tout entier n naturel par dn=vn-un. Calculer les premiers termes.

a) Montrer que cette suite est géométrique

b) donner son expression en fonction de n

3) Soit Sn = Un + Vn pour tout n>ou=0

a) calculez s0, s1, et s2

b) Montrer que S(n+1)=Sn pour tout n. Qu'en déduit-on ?

4) En déduire Un et Vn en fonction de n

5) Déterminer en fonction de n

Un = u0 + u1 + u2 + ... Un

et

Vn = v0 + v1 + v2 + ... Vn

Par avance, merci beaucoup de votre aide.

Margaux

[Étienne9]

Salut,

Tout d'abord tu peux très facilement faire la question 1.

Tu sais additionner ? Tu sais multiplier ? Tu sais diviser ?

[MAG62]

Oui bien sur.. alors j'ai trouvé pour les premiers termes de u_n

U₁=2/3

U₂=8/9

V₁=4/3

V₂=10/9

[Étienne9]

Cela m'a l'air correct.

La question 2 je pense qu'elle n'est pas impossible non plus pour toi.

[MAG62]

oui, d₁= 4/3 - 2/3 = 2/3

et d₂ = 10/9 - 8/9 = 2/9

[Étienne9]

Pour la 2)a) tu peux essayer deux choses.

1) Essaie de calculer d(n+1), tu remplaces et tu essaies d'aboutir à k*d(n).

2) Si ça ne marche pas, essaie de calculer d(n+1)/d(n).

J'ai essayé la 1 ça marche impeccable.

Seulement, il ne faut pas oublier les parenthèses lorsque tu remplaces v(n) - u(n) car ça change les signes...

[Barbidoux]

Voici l'ennoncé : On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour n entier naturel par :

U(0)=0

U(n+1)=(2U(n)+V(n))/3

V(0)=2

V(n+1)=(U(n)+2V(n))/3

1) calculez u1, u2, v1 et v2

-----------------------------

………….U ……………V………………D

0…………0……………2……………….2

1…………2/3…………4/3…………….2/3

2…………8/9………..10/9……………2/9

3..………26/27……….28/27…………2/27

-----------------------------

2) On considère la suite (dn) définie pour tout entier n naturel par dn=vn-un. Calculer les premiers termes.

a) Montrer que cette suite est géométrique

----------

D₁=D₀/3

D₂=D₁/3 =D₀/3^2

D₃=D₂/3 =D₀/3^3

---------------

On suppose

D_n=D_n-1/3

on calcule D_n+1= V_n+1-U_n+1= (U_n+2*V_n)/3-(2*U_n+V_n)/3=(V_n-U_n)/3=D_n/3

On a démontré que D_n+1= D_n/3

La relation étant héréditaire est valable pour toute valeur de n

----------------

b) donner son expression en fonction de n

-------------

D_n=D₀/3^n=2/3^n

-------------

3) Soit Sn = Un + Vn pour tout n>ou=0

a) calculez s0, s1, et s2

-------------

………….U ……………V………………S

0…………0……………2……………….2

1…………2/3…………4/3……………..2

2…………8/9………..10/9…………….2

3..………26/27……….28/27……….…2

-------------

b) Montrer que S(n+1)=Sn pour tout n. Qu'en déduit-on ?

-------------

S₀=2

S₁=2

S₃=2

On suppose

Sn=2

S_n+1=V_n+1+U_n+1= (U_n+2*V_n)/3+(2*U_n+V_n)/3=(V_n+U_n)=Sn=2

On a démontré que S_n+1=S_n=2

La relation étant héréditaire est valable pour toute valeur de n

-------------

4) En déduire Un et Vn en fonction de n

--------------

on sait que D_n=V_n-U_n=2/3^n

on sait que S_n=V_n+U_n=2

on en déduit que V_n=1+1/3^n et que U_n=2-V_n= 1-1/3^n

--------------

5) Déterminer en fonction de n

SUn = u0 + u1 + u2 + ... Un

--------------

S_Un=0+1-1/3+1-1/3^2+……….1-1/3^n= n-(1/3+1/3^2+……1/3^n)=n-(1/3)*(1-1/3)^n/(1-1/3)

--------------

et

S_Vn = v0 + v1 + v2 + ... Vn=1+1+1+1/3+……1+1/3^n=(n+2)+(1/3+1/3^2+………+1/3^n)=n+2+(1/3)*(1-1/3)^n/(1-1/3)

Vérification S_Vn+S_Un=2*(n+1)

[Étienne9]

Bonsoir Barbidoux,

Ce n'est pas drôle ! C'est l'un des seuls exercices que j'arrivais à faire pour aider les gens.

Seulement tu as en plus donné toutes les réponses ! Je voulais qu'elle les trouve d'elle-même...

[Barbidoux]

Désolé, si j'avais su j'aurais attendu ....

[Étienne9]

Je t'ai envoyé un MP en plus. Jusque la réponse 3)b) inclus j'avais les réponses.

Il fallait juste que je réfléchisse pour la suite.

[Barbidoux]

Je l'ai eu après avoir posté le corrigé. Pour ma part je n'aime pas faire des exercices sans disposer d'un corrigé détaillé et c'est pour cela que je corrige au mieux les exercices sont postés sur e-bahut.

J'ai toujours travaillé comme cela et je me suis toujours refusé de m'exercer en absence de solution de l'exercice. On apprend à faire en regardant comment nos prédécesseurs ont fait avant nous. L'important n'est pas de tout faire par soi-même mais d'apprendre et de comprendre comment les choses on été faites de les assimiler de s'approprier ce savoir et d'être capable de le reproduire. Recopier une solution sans l'avoir totalement comprise et acquise ne sert à rien raison de plus pour la donner .... avec l'exercice ...

En général les énoncés de exercices sont nombreux et gratuits, les corrigés détaillés rares et souvent payants.... certains en font même un commerce assez lucratif .... ce qui n'est pas le cas ici ou l'on peu trouver de l'aide sans bourse délier...

[Étienne9]

Je suis d'accord mais n'empêche que je trouve qu'on donne le corrigé trop vite ici.

Il faut entraîner les élèves à réfléchir car certains élèves ne réfléchissent même pas, ils demandent de l'aide tout de suite.

D'après moi ce n'est pas leur enseigner tel problème faut utiliser telle solution... C'est vrai que c'est pratique mais faut enseigner comment on réfléchit ? Quelles sont les possibilités pour résoudre cette exercice ?

[Barbidoux]

Je suis d'accord mais n'empêche que je trouve qu'on donne le corrigé trop vite ici.