dm nombres complexes si possible pour m Barbidoux

[vivelesmaths13]

pouvez vous m'aidez pour ce devoir maison que je n'ai pas comprit et merci d'avance pour votre aide

voici le sujet

exercice 1

1/ soit z=x+iy et z'=x'+iy' deux nombres complexes

déterminer en fonction de x,y,x',y' la partie réelle et la partie imaginaire de zz'

2/on considere l'algorithme suivant

entrée: n,a,b

traitement: x prend la valeur de a

y prend la valeur de b

pour j allant de 2 à n faire

x prend la valeur ax-by

y prend la valeur ay+bx

fin pour

sortie: afficher x+iy

que permet de calculer cet algorythme

exercice 2

1/ résoudre dans c l'équation z²-2z+5=0

2/ le plan vomplexe est muni d'un repère orthonormé direct (o,u,v) d'unité 2 cm

on considère les points A,B,C,D d'affixes respectives:

Za=1+2i; Zb=Za barre ; Zc=1+ (racine de 3)+i et Zd=Zc barre pour zc ll n'y a que le 3 qui a la racine c'est pur cela que j'ai mit des parentheses

a/ placer les points abc dans un repere

b/ determiner la forme algebrique puis la forme exponentielle de Zb-Zc/Za-Zc

c/ en deduire la nature du triangle abc

3/ Demontrer que les points A,B,C,D appartiennent à un meme cercle dont on determinera le centre et le rayon

4/ construire les points c et d en explicant la construction

[pzorba75]

Exo 1

1 (x+iy)(x'+iy')=xx'-yy'+i(xy'+x'y)

2 Je doute du résultat de la boucle suivante

pour j allant de 2 à n faire

x prend la valeur ax-by

y prend la valeur ay+bx

fin pour

le terme ay+bx doit être calculé avec ay+b(ax-by), ax-by ayant remplacé x à l'instruction précédente et cela conduit à des calculs inextricables.

Est-ce bien la rédaction de l'énoncé tel qu'il figure dans le livre?

A soumettre à un pro des algorithmes pour vérification.

[vivelesmaths13]

Il n y a pas d'erreurs dans l algorithme c'est ce qui a ecrit dans l énoncé

[pzorba75]

Alors, je ne peux pas t'aider.

[Barbidoux]

exercice 1

1/ soit z=x+iy et z'=x'+iy' deux nombres complexes

déterminer en fonction de x,y,x',y' la partie réelle et la partie imaginaire de zz'

Re(z*z')=x*x'-y*y'

Im(z*z')= x*y'+x'*y

2/on considere l'algorithme suivant

entrée: n,a,b

traitement: x prend la valeur de a

y prend la valeur de b

pour j allant de 2 à n faire

x prend la valeur ax-by

y prend la valeur ay+bx

fin pour

sortie: afficher x+iy

que permet de calculer cet algorithme

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il fournit les composantes x et y du nombre complexe a+i*b élevé à la puissance n ==> x+i*y =(a+i*b)^n

exercice 2

1/ résoudre dans c l'équation z²-2z+5=0

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deux solutions z=1-2*i et z=1+2*i

-------------

2/ le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (o,u,v) d'unité 2 cm

on considère les points A,B,C,D d'affixes respectives:

Za=1+2i; Zb=Za barre ; Zc=1+ (racine de 3)+i et Zd=Zc barre pour zc ll n'y a que le 3 qui a la racine c'est pur cela que j'ai mit des parentheses

a/ placer les points abc dans un repère

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Voir figure finale

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b/ determiner la forme algébrique puis la forme exponentielle de Zb-Zc/Za-Zc

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(za-zc)/(zb-zc)=(√3+3*i)/(√3-i)=(√3/4)*(1/2+(√3/2)*i)/(√3/2-(1/2)*i)=(√3/4)*exp(π/3)/exp(-π/6)=(√3/4)*exp(π/2}

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c/ en deduire la nature du triangle abc

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za-zc est l'affixe du vecteur CA et zb-zc celui du vecteur CB et ces deux vecteurs font un angle de π/2 le triangle ABC est donc rectangle en C et inscrit dans un cercle de diamètre AB et de centre I{1,0} milieu de AB

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3/ Demontrer que les points A,B,C,D appartiennent à un meme cercle dont on determinera le centre et le rayon

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On démontrerait de même en calculant (za-zd)/(zb-zd) que les vecteurs DA et DB font un angle de π/2, que le triangle ADB est rectangle en D et inscrit dans un cercle de diamètre AB et de centre I{1,0} milieu de AB et de rayon r=|AB|/2=2

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4/ construire les points c et d en explicitant la construction

[Barbidoux]

Comme le souligne très justement Zorba, l'algorithme qui est proposé et qui est sensé calculer la puissance nième d'un complexe ne peut pas fonctionner correctement en l'état du fait de l'écrasement de l'ancienne valeur de x lorsque l'on effectue l'opération x prend la valeur ax-by.

Il aurait été plus convenable d'écrire l'algorithme :

entrée: n,a,b, c

traitement: x prend la valeur de a

y prend la valeur de b

pour j allant de 2 à n faire

c prend la valeur x

x prend la valeur a*c-b*y

y prend la valeur a*y+b*c

fin pour

sortie: afficher x+iy

qui sous cette forme donnera un résultat correct quelques soit le langage de programmation utilisé. Il aurait été même plus prudent d'écrire :

entrée: n,a,b, c,d

traitement: x prend la valeur de a

y prend la valeur de b

pour j allant de 2 à n faire

c prend la valeur x

d prend la valeur y

x prend la valeur a*c-b*d

y prend la valeur a*d+b*c

fin pour

sortie: afficher x+iy

ce qui permet d'inverser sans conséquences les lignes de calcul des nouvelles valeurs de x et de y

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Voici un exmple de programmation en AgoBox qui fonctionne correctement

******************************************

1 VARIABLES

2 a EST_DU_TYPE NOMBRE

3 b EST_DU_TYPE NOMBRE

4 y EST_DU_TYPE NOMBRE

5 x EST_DU_TYPE NOMBRE

6 n EST_DU_TYPE NOMBRE

7 c EST_DU_TYPE NOMBRE

8 d EST_DU_TYPE NOMBRE

9 i EST_DU_TYPE NOMBRE

10 DEBUT_ALGORITHME

11 AFFICHER "Valeur de a = "

12 LIRE a

13 AFFICHER "Valeur de b ="

14 LIRE b

15 AFFICHER "Valeur de n ="

16 LIRE n

17 x PREND_LA_VALEUR a

18 y PREND_LA_VALEUR b

19 AFFICHER "--------------"

20 AFFICHER "a= "

21 AFFICHER a

22 AFFICHER " ; b="

23 AFFICHER b

24 AFFICHER " ; n="

25 AFFICHER n

26 POUR i ALLANT_DE 2 A n

27 DEBUT_POUR

28 c PREND_LA_VALEUR x

29 d PREND_LA_VALEUR y

30 x PREND_LA_VALEUR (a*c-b*d)

31 y PREND_LA_VALEUR (a*d+b*c)

32 AFFICHER "-----------"

33 FIN_POUR

34 AFFICHER "Re(a+i*b)^n ="

35 AFFICHER x

36 AFFICHER "Im(A+i*b)^n ="

37 AFFICHER y

38 FIN_ALGORITHME