DM Inégalités triangulaires

[aprer]

Bonjour à tous,

J'ai un DM et je n'arrive pas à le faire.

Voici le sujet :

1) Soit a, b, c et d des nombres réels.

Démontrer que si a b et c d, alors a+c b + d

2) Soit x un réel quelconque. Prouver que x l x l

3) Soit x et y deux réels quelconques.

a) Démontrer que x+y l x l + l y l

b) En remarquant que -(x + y) = (-x) + (-y), démontrer que :

-(x + y) l x l + l y l.

4) Déduire de la question précédente que :

l x + y l l x l + l y l

Cette inégalité s'appelle triangulaire.

Piste: Pour la quest 3) a) , on pourra utiliser les quest 1) et 2)

Merci de bien vouloir m'aider

[pzorba75]

Pour le 1, histoire de te mettre au travail :

on peut ajouter deux inéquations de même sens, soit

a<=b

c<=d

donc par addition

a+c<=b+d

Pour le 2

x>0 abs(x)=x donc x<=abs(x)

x<0 abs(x)>0 donc x<=abs(x)

donc pour tout x x<=abs(x)

Pour le 3,

faut chercher tout seul ou revoir le cours, c'est normalement expliqué dans ton livre de cours.

Au travail.

[aprer]

Merci pour votre aide, Voici ce que j'ai fais :

3)a) On sait que x |x| ET y |y| , alors x + y |x| + |y|

3)b) en partant de : x + y |x| + |y|

puisque cette relation est vraie pour tous x et y

elle est vraie également pour -x et -y, donc :

donc -x + -y |-x| + |-y|

<--> - (x + y) = |-x| + |-y|

<--> - (x + y) = |x| + |y|

4) sachant que :

x + y |x| + |y| ET -(x+y) |x| + |y|

alors

|x + y| |x| + |y|

Voila, mais je me demande si dans le développement je n'ai rien oublié de préciser surtout pour la 3)a) et la 4) car c'est un peu court.

Merci

[Boltzmann_Solver]

Pour le 1, histoire de te mettre au travail :

on peut ajouter deux inéquations de même sens, soit

a<=b

c<=d

donc par addition

a+c<=b+d

Pour le 2

x>0 abs(x)=x donc x<=abs(x)

x<0 abs(x)>0 donc x<=abs(x)

donc pour tout x x<=abs(x)

Pour le 3,

faut chercher tout seul ou revoir le cours, c'est normalement expliqué dans ton livre de cours.

Au travail.

[aprer]

Oui , pour la 1) j'ai fais ceci :

On sait que a b et c d . On a :

a b

a+c b+c Or, c d et donc b+c b+d et donc a+c b+c b+d et donc a+c b+d

[aprer]

Et ai-je eu bon pour la 3) ?

[aprer]

L'ensemble de mon exercice est correct ?