limite de fonction terminale

[pepsy]

Bonjour,

Je suis en terminale S et j'ai un devoir maison à faire sur les limites de foctions, qui comprend 3 exercices avec des consignes à peut près similaires.

Voici l'énoncé de l'exercices 1 avec mes réponses:

Ex1 On considère la fonction f définie sur ]-1;+ [ par f(x)= (x² +2x+5)/(x+1) de courbe représentative C.

1)a)Déterminer la limite en +

Donc j'ai factoriser f(x) par le terme de plus haut degrés au numérateur et dénominateur et j'obtient: x(1+2/x+5/x²) au numérateur et 1+1/x au dénominateur je trouve la limite de ces deux expressions donc + pour le numérateur et 1 pour le dénominateur donc lim f(x)=+ quand x tend vers + .

b)Déterminer la limite de f en -1 .Que peut on en déduire pour la courbe C ?

J'ai repris la forme de départ de la fonction , le polynôme à pour limite 4 et x+1 à pour limite 0 il faut donc faire le tableau de signe de x+1 on trouve lim x+1=+ lorsque x>-1 donc lim f(x)=0

Je ne sais pas vraiment quoi en déduire, je pense que la courbe fait un peu comme une parabole donc elle tend vers 0 puis remonte.

2)Soit D la droite d'équation y= x+1

a) Visualiser C et D sur le même écran de votre calculatrice en prenant pour fenêtre graphique -1 x 10 et 0 y 10 Quelles remarques peut on faire sur la positions relatives de ces deux courbes ?

on pose pour tout réel x>1 d(x)=f(x)-(x+1)

Il semble que C>D et que D tend vers C. Je ne suis pas sûr de mes conjectures et surtout de leur formulations.

b) Déterminer la limite de d en + que peut on en déduire pour les courbes C et D ?

J'ai simplifié l'expression de d(x) en remplacent f(x) par sa formule et je trouve d(x)=4/(x+1) donc lim d(x)=0 lorsque x tend vers + . j'en conclue que f(x)-(x+1)>0 équivalent à f(x)>(x+1) donc C>D.

c) étudier le signe de d sur ]-1;+ [. Que peut on en déduire quant à la position des courbes C et D ?

Jai fais le tableau de signe de d(x) c'est à dire de 4/(x+1) et donc je trouve que c'est positif de ]-1;+ [.Et je ne sais pas quoi en déduire C est toujours supérieur à D mais je ne vois pas quoi dire de d(x) vu qu'il tend vers + .

Merci par avance d'avoir lu ce message, votre aide me sera vraiment très précieuse.

[pzorba75]

Pour les limites, question 1) a et b

Ex1 On considère la fonction f définie sur ]-1;+ [ par f(x)= (x² +2x+5)/(x+1) de courbe représentative C.

1)a)Déterminer la limite en +

Donc j'ai factorisé f(x) par le terme de plus haut degrés au numérateur et dénominateur et j'obtiens: x(1+2/x+5/x²) au numérateur et 1+1/x au dénominateur je trouve la limite de ces deux expressions donc + pour le numérateur et 1 pour le dénominateur donc lim f(x)=+ quand x tend vers + .

b)Déterminer la limite de f en -1 .Que peut on en déduire pour la courbe C ?

_{J'ai repris la forme de départ de la fonction , le polynôme à pour limite 4 et x+1 à pour limite 0 il faut donc faire le tableau de signe de x+1 on trouve lim x+1=+ lorsque x>-1 donc lim f(x)=0}

_{Je ne sais pas vraiment quoi en déduire, je pense que la courbe fait un peu comme une parabole donc elle tend vers 0 puis remonte.}

la limite quand x->1+epsilon est +infty.

La courbe C admet une asymptote verticale en -1.

[pepsy]

Re bonjour,

Merci de m'avoir répondu aussi vite : ), je suis désolé pour les fautes d'ortographe, j'essayerai de me corriger.

Donc C a une asymptote en -1, est ce que dans le 2)a) mes conjectures sont correctes ou est ce que je doit trouver d'autres propriétés pour D ?

Est ce que je peut dire que D à la même asymptote que C puisque C>D ?

[pzorba75]

Tu peux faire un effort pour l'orthographe, c'est un minimum de correction pour échanger sur un forum.

C>D n'est pas correct, il faut dire la courbe C est au-dessus de la courbe D, ce qui n'est pas la même chose.

La conjecture semble bonne, la démonstration est plus vaseuse.

A reprendre en t'appuyant sur un exemple rédigé de ton livre.

[pepsy]

Bonjour,

2)b) Comme la lim de d(x)=0 lorsque x tend vers + d(x) 0 équivalent à f(x)-(x+1) 0 équivalent à f(x) (x+1) donc C est toujours au dessus de D sur ]-1;+ [ cette démonstration me paraît juste, je ne vois pas d'autre démonstration possible .

[pepsy]

J'ai poursuivi mon devoir de maths en essayant de trouver mon erreur dans l'exercice 2 puisque les consignes sont similaires.

Soit f la fonction définie sur [1/2;+ [ par f(x)= x³+1/4x²-1

1)a)Déterminer la limite de f en +

J'ai factorisé le numérateur par x³ et le dénominateur par x². Je trouve x(1+1/x²)/4-1/x²

je trouve pour la limite du numérateur + et pour le dénominateur 4 lorsque x tend vers + donc lim f(x)=+ lorsque x tend vers + .

b)Déterminer la limite de f en 1/2. Que peut on en déduire pour la courbe C ?

La limite du dénominateur lorsque x tend vers 1/2 est nul je fais donc un tableau de signe de 4x²-1

Mais pour trouver les valeurs pours lesquelles cette fonction est nul je rencontre un probléme.

4x²-1=0 équivalent à x²=-1/4

or je ne peut pas avoir une racine négative pourtant il y a bien deux valeurs pour lesquelles la fonction s'annule qui sont -1/2 et 1/2.

Comme on me demande la limite sur ]1/2;+ [ je peut quand même répondre je pense.

lim 4x²-1=+ lorsque x tend vers + et que x>1/2 donc lim f(x)=0.

2)On appelle D la droitey= x/4

a) En vous inspirant de l'exercice précédent, conjecturer les positions relatives des courbes C et D.

Deplus pour tout x>1/2 on considère les points M et N d'abscisses x respectivement sur C et D.

Que peut-on conjecturer sur la distance MN lorsque x tend vers + ?

Donc il semble que D soit au dessus de C sur ]- ;-1/2[ U ]-1/2;1/2[ et confondue avec C sur ]1/2;+ [

donc pour étudier leurs positions je dois étudier le signe de f(x)-x/4 sur ces trois intervalles.J'espére que c'est la bonne démarche à suivre si ce n'est pas le cas ,pourriez -vous, s'il vous plaît, m'aider à trouver le bon procésus ? qui est aussi celui du premier exercice si je crois.

J'ai calculé f(x)-x/4 et j'ai trouvé (4+x)/(16x²-4) je factorise le numérateur et le dénominateur et je trouve au numérateur (4/x)+1 soit limite= 1 lorsque x tend vers + et au dénominateur x(16-(4/x²)) une limite=+ lorsque x tend vers + .Donc f(x)-x/4>0 équivalent à f(x)>x/4

Merci de me corriger si mon raisonnement ou mes calcules sont faux.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Pepsy,

Personne ne t'a aidée car on ne sait pas si :

- f(x) = (x³+1)/(4x²-1)

- f(x) = x³+1/(4x²-1)

???

[pepsy]

Bonjour ,

Je n'avais pas remarqué que la formule de f(x) préte à confusion , c'est vrai qu'on ne peut pas distinguer les deux formes sans parenthèses , je ferai attention la prochaine fois , merci de m'avoir signalée cette erreur , qui empêche une bonne compréhension de l'exercice , je comprends maintenant pourquoi on ne me répondait pas.

En fait c'est f(x)= (x³+1)/(4x²-1)

[Boltzmann_Solver]

Bonjour ,

Je n'avais pas remarqué que la formule de f(x) préte à confusion , c'est vrai qu'on ne peut pas distinguer les deux formes sans parenthèses , je ferai attention la prochaine fois , merci de m'avoir signalée cette erreur , qui empêche une bonne compréhension de l'exercice , je comprends maintenant pourquoi on ne me répondait pas.

En fait c'est f(x)= (x³+1)/(4x²-1)

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Voila le corrigé. Je t'invite à le lire sérieusement et à me poser toutes les questions qu'il faut car tu as commis beaucoup d'erreur de raisonnement.

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[pepsy]

Bonjour ,

J'ai lu attentivement votre corrigé , et j'ai remarqué que j'avais fait beaucoup d'erreurs pour les limites lorsque la limite annule le dénominateur.

Dans mon cour la méthode définie par mon professeur dans ce cas de figure est la suivante:

On étudie le signe de la fonction ou d'une partie de la fonction ( à l'aide d'un tableau de signe ) puis on détermine la limite.

En fait je pensais avoir compris cette méthode mais avec votre correction j'ai compris mon erreur. La limite est obligatoirement infinie puisque on trouve la limite du numérateur égale à un nombre et celle du dénominateur égale à 0.

Merci d'avoir éclaircie cette méthode : ) qui est une base de la leçon et qui me sera , je pense , d'une grande aide au contrôle.

Pour l'asymptote oblique du 2)b) de l'exercice 1 j'ai compris ainsi que la démonstration 2)c).

Pour ma conjecture de l'exercice 2, 2)a) j'avais fait une erreur de lecture de graphique sur ma calculette , si on regarde de plus prés on peut voir que C est au dessus de D sur ]1/2;+ [ mais si on regarde sans tableau de valeur et seulement sur le graphique de la calculette les courbe sont confondues.

Enfin je suis d'accord sur le fait que MN tend vers + mais cette distance MN se rapproche de plus en plus de 0, si on regarde à x=44 , M=11,001 et N=11 donc MN=0,001 donc on peut-on conjecturer que la distance MN tend vers 0 ?

Je doit maintenant démontrer ces conjectures à l'aide de l'exercice 1 et terminer l'exercice 3.

Je posterai la fin de mon devoir de maths aujourd'hui , j'espére qu'à l'aide de votre correction , je ne ferais pas trop de faute.

Vous m'avez déjà beaucoup aidé , j'espére que vous pourrez m'aider encore pour la fin de ce devoir , mais je comprend que vous ayez d'autre priorités.

[pepsy]

Re bonjour,

J'ai poursuivi mon devoir de maths en me basant sur le premier execice j'ai donc fais la même démarche:

Je pose , pour tout réel x sur ]1/2;+ [ d(x)=f(x)-x/4

Je calcule d(x)=((x³+1)/(4x²-1))-(x/4) et je trouve d(x)=(4+x)/(16x²-4) je factorise le numérateur et le dénominateur afin de trouver sa limite je trouve au numérateut (4/x)+1 soit une limite = 1 et x(16-(4/x²)) soit une limite = + donc sa limite tend vers 0 en + faut t'il que je trouve la limite de d(x) en -1/2 et 1/2?

ou faut t-il étudier le signe de 16x²-4 ?.si j'étudie le signe il me semble que c'est plus éfficase puisque 16x²-4 est une identité remarquable qui peut être factorisé par (4x-2)(4x+2) ainsi sur ]-1/2,1/2[ on voit tout de suite que d(x) est négatif donc d(x)<0 et que sur ]1/2;+ [ d(x) est positif donc

d(x)>0.

En fait je ne vois pas très bien comment refaire la méthode que vous m'avez montré dans la derniére démonstration du premier exercice , j'ai peur de mal la comprendre.

Je m'explique , donc j'ai compris que vous étes parti de la définition de f(x) donc pour tout x>-1 ensuite vous dites que x+1>0 jusque là pas de probléme , puis que d(x)>0 mais je ne vois pas très bien à quoi sert la limite ?

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Pepsy,

Bonjour ,

J'ai lu attentivement votre corrigé , et j'ai remarqué que j'avais fait beaucoup d'erreurs pour les limites lorsque la limite annule le dénominateur.

Dans mon cour la méthode définie par mon professeur dans ce cas de figure est la suivante:

On étudie le signe de la fonction ou d'une partie de la fonction ( à l'aide d'un tableau de signe ) puis on détermine la limite.

En fait je pensais avoir compris cette méthode mais avec votre correction j'ai compris mon erreur. La limite est obligatoirement infinie puisque on trouve la limite du numérateur égale à un nombre et celle du dénominateur égale à 0.

Merci d'avoir éclaircie cette méthode : ) qui est une base de la leçon et qui me sera , je pense , d'une grande aide au contrôle.

[pepsy]

Bonsoir,

Donc je suis toujours dans l'exercice 2 , 2)b) où il faut démontrer les conjectures faites précedement.

[pepsy]

J'ai étudier le signe de la fonction d(x)=f(x)-(x/4)=(4+x)/(16x²-4) le dénominateur peut être factorisé par (4x-2)(4x+2).

cette fonction est donc négative donc d(x)<0 sur ]-1/2;1/2[ et positive donc d(x)>0 sur ]1/2;+ [.

On en conclu que C est au dessous de D sur ]-1/2;1/2[ et au dessus de D sur ]1/2;-1/2[.

Je suis passée à mon dernière exercice , qui est similaire aux deux autres mais sans les questions intermédiaire , qui nous donnes la démarche à suivre.

Exercice 3

Soit f la fonction définie sur R\{0} par f(x)=(1/3)(x²+x+1/x) , de courbe représentative C et soit h la fonction définie sur R par

h(x)=(1/3)(x²+x) , de courbe représentative P.

Pour tout réel x non nul , on pose d(x)=f(x)-h(x).

1)Déterminer les limites de d en + et en - .Que peut on en déduire pour les courbes C et P au voisinage de + et - ?

J'ai commencé par calculer d(x). d(x)=f(x)-h(x)=(1/3)(x²+x+1/x)-(1/3)(x²+x) et je trouve comme résultat final d(x)= 1/(3x).

lim d(x) lorsque x tend vers + =0 et lim f(x) lorsque x tend vers - =0.

on peut en déduire que C et P tendent vers 0 lorsque x tend vers + et lorsque x tend vers - .

2)Etudier les positions relatives des courbes C et P.

Je pense qu'il faut étudier le signe de d(x) sur R\{0} , d(x) est négatif donc d(x)<0 sur ]- ;0[ et positif donc d(x)>0 sur

]0;+ [ donc on en déduit que C est au dessous de P sur ]- ;0[ et au dessus de P sur ]0;+ [.

Je ne sais pas si ma démonstration est correcte , elle me parraît juste , mais un peu courte.

J'espére que je n'ais pas fait trop de fautes autant dans les calcules que dans le raisonnement , merci de bien vouloir me rectifié si il y a des erreurs.

[pepsy]

Voilà le lien du sujet , je suis désolé , je n'ais pas réussi à afficher l'image sur le forum , apparement l'image était trop grande.:

"http://www.casimages...95339116038.jpg"

J'éspére que vous pourrez charger l'image.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir pepsy,

Voilà l'aide attendue.

http://terre.de.physique.free.fr/spip.php?page=article&id_article=6

[pepsy]

Bonsoir ,

Merci beaucoup pour votre correction , qui a été faite avec beaucoup de soin , et que je vais bien regarder ce soir ; ainsi que de votre aide pour ce devoir maison .

Vos conseilles m'ont permi de mieux comprendre mon cour et d'éviter , je pense , des erreurs pour mon contrôle de demain.

Je pense que j'aurai encore l'occasion de vous recontacter , si vous n'y voyez pas d'inconvénients ,donc à très bientôt je l'espère.

Bonne soirée

Scully.

PS: j'ai décidé de commencer à lire les Chérub avant fin novembre , je vais les acheter dans quelques jours , merci de m'avoir redonné le courage et l'envie de lire des romans.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Je t'en prie. Je tacherai de commenter tes réponses quand j'aurai 5 min.

Sinon, j'ai suivant mes disponibilités. Donc, si j'ai le temps, ça sera avec joie.

Bonne soirée.

BS.

PS : c'est bien pour te remettre doucement au roman^^.